Definitie 4.3.1.
\(f\) bereikt een lokaal minimum in \(a\) als er een open interval \(I\) rond \(a\) bestaat waar \(f(x) \gt f(a)\) voor elk punt \(x \in I\text{.}\)
Sectie 4.3 Verloop van een veeltermfunctie
Subsectie 4.3.1 Extrema van een functie
Definitie 4.3.2.
\(f\) bereikt een lokaal maximum in \(a\) als er een open interval \(I\) rond \(a\) bestaat waar \(f(x) \lt f(a)\) voor elk punt \(x \in I\text{.}\)
Een lokaal extremum is een lokaal minimum of een maximum.
Als \(f\) een lokaal extremum bereikt in \(a\text{,}\) dan is \(f'(a)=0\) en is de raaklijn aan de grafiek in \((a,f(a))\) horizontaal.
\begin{equation*}
\boxed{f \text{ bereikt lokaal extremum in } a \Rightarrow f'(a)=0}
\end{equation*}
\(f'(a)=0\) is echter geen voldoende voorwaarde voor het bereiken van een extremum in \(a\text{.}\) Beschouw bijvoorbeeld de functie \(f(x)=(x-2)^3+1\text{.}\) Er geldt
\begin{equation*}
f'(x)=3(x-2)^2 \Rightarrow f'(2)=0
\end{equation*}
en de raaklijn in \((2,1)\) is horizontaal. De functie \(f\) bereikt echter geen extremum in \(x=2\).
1
\((2,1)\) is een buigpunt, zie later.
\begin{equation*}
\boxed{f'(a)=0 \nRightarrow f \text{ bereikt lokaal extremum in } a }
\end{equation*}
\(f'(x) \gt 0\) voor elke \(x\text{,}\) behalve voor \(x=2\) en bijgevolg is \(f(x)\) stijgend in elk interval:
Je hebt pas een extremum gevonden als \(f'(x)\) wisselt van teken. Een lokaal maximum betekent immers een overgang van stijgen naar dalen; en een lokaal minimum een overgang van dalen naar stijgen.
Lokale extrema zoeken.
-
Als \(f'(a)=0\) en \(f'(x)\) verandert van strikt positief links van \(a\) naar strikt negatief rechts van \(a\text{,}\) dan bereikt \(f(x)\) een lokaal maximum in \(a\text{.}\)
-
Als \(f'(a)=0\) en \(f'(x)\) verandert van strikt negatief links van \(a\) naar strikt positief rechts van \(a\text{,}\) dan bereikt \(f(x)\) een lokaal minimum in \(a\text{.}\)
We gebruiken de term lokaal omdat een functie in een bepaald interval \([a,b]\) natuurlijk meerdere maxima of minima kan hebben.
Globale extrema zoeken.
De grootste (kleinste) functiewaarde in een interval \([a,b]\) noemen we het globaal maximum (minimum). Merk op dat het globaal maximum (minimum) natuurlijk ook kan bereikt worden in \(x=a\) of \(x=b\text{.}\) Je gaat dus als volgt te werk:
- Bepaal de punten waarvoor \(f'(x)=0\) in \(]a,b[\text{.}\) Vaak noemt men dit de stationaire punten.
- Stel de tekentabel van \(f'\) op en ga na in welke stationaire punten de functie een lokaal extremum bereikt.
- Bepaal de functiewaarden van de lokale extrema en bereken eveneens \(f(a)\) en \(f(b)\text{.}\) De grootste functiewaarde is dan het globaal maximum en de kleinste het globaal minimum.
Voorbeeld 4.3.3.
Om de lokale extrema van de functie \(f(x)=x^3-x^2-x\) te bepalen, stellen we dus gewoon de tekentabel van \(f'(x)\)op:
\begin{equation*}
f'(x)=3x^2-2x-1=3(x-1)\left(x+\frac{1}{3}\right)
\end{equation*}
Stel dat er nu gevraagd wordt om het globale minimum en maximum van \(f\) te bepalen op het interval \([-1,2]\text{,}\) dan volstaat het om bijkomend de functiewaarden \(f(-1)\) en \(f(2)\) te berekenen:
\begin{align*}
\amp f(-1)=-1\\
\amp f(2) = 2
\end{align*}
Het globale maximum op dit interval is dus \(2\) en wordt bereikt in \(x=2\text{;}\) het globale minimum is \(-1\) en dit wordt bereikt in \(x=-1\) of \(x=1\text{.}\)
Subsectie 4.3.2 Herhaald afleiden
De afgeleide functie van \(f(x)=x^3-x^2-x\) is gelijk aan \(f'(x)=3x^2-2x-1\text{.}\) Deze functie kunnen we natuurlijk opnieuw afleiden en dan krijgen we de tweede afgeleide van \(f(x)\text{:}\) \(f''(x)=6x-2\text{.}\)
Tweede afgeleide.
De tweede afgeleide van \(f\) noteren we als
\begin{equation*}
f'' \qquad \qquad D^2f \qquad \qquad \dfrac{d^2f}{dx^2}
\end{equation*}
We kunnen nu opnieuw afleiden om de derde en de vierde afgeleide te berekenen: \(f^{(3)}(x)=6\) en \(f^{(4)}(x)=0\text{.}\) Voor een veeltermfunctie van de derde graad zijn alle afgeleiden vanaf de vierde natuurlijk gelijk aan nul.
\(n\)-de afgeleide.
De \(n\)-de afgeleide van een functie \(f\) noteren we als
\begin{equation*}
f^{(n)} \qquad \qquad D^nf \qquad \qquad \dfrac{d^nf}{dx^n}
\end{equation*}
Subsectie 4.3.3 De vorm van een grafiek
Voorbeeld 4.3.4. Een bal omhoog gooien.
Als je een bal vanaf een hoogte van 1,5 m omhoog gooit met een snelheid van 7,0 m/s, dan bereikt de bal een maximale hoogte van 4,0 m. Het functievoorschrift van de hoogte in functie van de tijd is \(y(t)=1,5+7t-\dfrac{9,81}{2}t^{2}\) (bij verwaarlozing van de luchtweerstand). De ogenblikkelijke snelheid is
2
Aangezien de onafhankelijke veranderlijke de tijd is, spreken we over ogenblikkelijke verandering i.p.v. puntsgewijze verandering.
\begin{equation*}
v_y(t)=\frac{dy(t)}{dt}=7-9,81t
\end{equation*}
en deze wordt nul als \(t=\dfrac{7}{9,81}=0,71\text{.}\) De snelheid \(v_y(t)\) wisselt op dit tijdstip van positief (volgens de zin van de \(y\)-as) naar negatief (tegengesteld aan de zin van de \(y\)-as), dus de bal bereikt daar zijn maximale hoogte.
Er is echter nog een ander criterium dat we kunnen gebruiken om af te leiden dat het maximum bereikt wordt op \(t=0,71\) s: het feit dat de grafiek bol is. Dit betekent dat de snelheid afneemt op weg naar de maximale hoogte; de raaklijn aan de grafiek van \(y(t)\) wordt steeds minder steil. Na het bereiken van het maximum (als de bal terug naar beneden valt), wordt de raaklijn steeds steiler. De grafiek is dus bol omdat de ogenblikkelijke verandering van de snelheid negatief is.
De ogenblikkelijke verandering van de snelheid \(v_y\) noemen we de ogenblikkelijke versnelling \(a_y\text{.}\) We noteren
\begin{equation*}
a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}
\end{equation*}
Hier geldt er dat \(a_y(t)=-9,81\) m/s\(^2\) (\(=\) de valversnelling).
Merk op dat een negatieve versnelling niet noodzakelijk betekent dat de bal minder snel gaat bewegen. Dit hangt af van het teken van de snelheid zelf: als \(v \gt 0\text{,}\) dan beweegt de bal inderdaad trager als \(a \lt 0\text{;}\) als \(v \lt 0\text{,}\) dan beweegt de bal sneller als \(a \lt 0\text{.}\)
Voorbeeld 4.3.6. Een afkoelende kop thee.
De snelheid waarmee een kop thee afkoelt is rechtevenredig met het temperatuursverschil tussen de thee en de omgeving. Dit betekent dat de snelheid waarmee de thee afkoelt langzaamaan vermindert. Voor een kop thee van \(100\;\g\)C en een omgevingstemperatuur van \(20\; \g\)C krijgen we bijvoorbeeld onderstaand temperatuursverloop:
De raaklijnen aan de grafiek van \(\theta(t)\) worden steeds minder stijl en de grafiek van \(\theta(t)\) is hol. Aangezien \(\dfrac{d\theta(t)}{dt} \lt 0\) op elk tijdstip betekent dit dat \(\dfrac{d^2\theta(t)}{dt^2} \gt 0\text{.}\)
Bolle en holle grafiek; buigpunten.
- \(f''(x) \lt 0\) in \(]a,b[\) \(\Leftrightarrow\) grafiek van \(f(x)\) is bol in \(]a,b[\)
- \(f''(x) \gt 0\) in \(]a,b[\) \(\Leftrightarrow\) grafiek van \(f(x)\) is hol in \(]a,b[\)
- \(f''(x)\) verandert van teken in \(a\) en de raaklijn in \((a,f(a))\) bestaat \(\Leftrightarrow\) grafiek van \(f(x)\) heeft een buigpunt in \((a,f(a))\)
Als de grafiek bol (hol) is in een interval noemen we de functie convex (concaaf) in dit interval.
Opmerking 4.3.8.
Merk op dat de voorwaarde \(f''(a)=0\) opnieuw geen voldoende voorwaarde is voor het bestaan van een buigpunt. Denk maar aan de functie \(f(x)=x^4\) waarvoor de eerste en tweede afgeleiden gelijk zijn aan \(f'(x)=4 x^3\) en \(f''(x)=12 x^2\text{.}\) Er geldt dat \(f''(0)=0\text{,}\) maar \((0,0)\) is geen buigpunt omdat \(f''(x)\) niet verandert van teken in \(0\text{.}\) De functie bereikt wel een minimum in \(x=0\text{,}\) zoals je kan afleiden uit de tekenwissel van \(f'(x)\) in \(0\text{.}\)
In plaats van te controleren of \(f'(x)\) van teken wisselt in \(x=a\) kan je dus ook het teken van \(f''(a)\) controleren om extrema van \(f(x)\) op te sporen.
Lokale extrema en het teken van \(f''\).
- Als \(f'(a)=0\) en \(f''(a) \lt 0\) dan bereikt \(f(x)\) een lokaal maximum.
- Als \(f'(a)=0\) en \(f''(a) \gt 0\) dan bereikt \(f(x)\) een lokaal minimum.
Voorbeeld 4.3.10.
We hernemen het voorbeeld van de functie \(f(x)=x^3-x^2-x\text{.}\) Er geldt
\begin{align*}
\amp f'(x) = 3x^2-2x-1=3(x-1)\left(x+\frac{1}{3}\right)\\
\amp f''(x) = 6x-2 = 6 \left (x-\dfrac{1}{3} \right )
\end{align*}
We voegen de tekentabel van \(f''(x)\) toe aan het overzicht. De overgang van bol naar hol gebeurt in \(x=\dfrac{1}{3}\) en \(\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{11}{27}\right)\) is het buigpunt van de grafiek. \(f'(x)\) bereikt dan zijn minimale waarde en \(f''\left(\dfrac{1}{3}\right)=0\text{.}\) De raaklijn in het buigpunt, ook wel de buigraaklijn genoemd, loopt dwars door de grafiek.
Opdracht 4.3.1.
Gegeven een functie \(f\) met \(f(0)=\dfrac{1}{2}\) en waarvan de grafiek van \(f'(x)\) er als volgt uitziet:
- Geef de posities van de lokale extrema. Specifieer ook telkens of het om een maximum of een minimum gaat.
- Geef — eventueel bij benadering — de posities van de buigpunten.
- Voeg de grafieken van \(f''(x)\) en \(f(x)\) toe aan bovenstaande tekening.
Oplossing.
Opdracht 4.3.2.
Gegeven de functie \(f(x)=x^3-ax^2\) met \(a \gt 0\text{.}\)
- Bepaal de lokale extrema en de buigpunten.
- Beschrijf hoe de lokale extrema en de buigpunten veranderen i.f.v. de parameter \(a\text{.}\) Controleer jezelf met Desmos.
