Logaritmen

Sectie 1.4 Logaritmen

Subsectie 1.4.1 Definitie van logaritme

Verkenning 1.4.1.

Lokaliseer de knop log op je rekenmachine en bereken log(1), log(10), log(100), log(1000), log(10^4) en log(10^5). Formuleer in eigen woorden het effect van de bewerking \(\log\text{.}\)

Beschouw de som \(5+2=7\text{.}\) Het resultaat van de bewerking \(+2\) kan je ongedaan maken door er opnieuw twee van af te trekken. \(+2\) en \(-2\) neutraliseren elkaar en we noemen de optelling en de aftrekking inverse bewerkingen.

We kunnen bovenstaande som ook interpreteren als het optellen van \(5\) bij \(2\text{.}\) Of we nu twee of vijf als uitgangspunt nemen, de inverse bewerking blijft een aftrekking. Hetzelfde geldt voor een vermenigvuldiging en een deling.

De machtsverheffing, daarentegen, kan op twee verschillende manieren geneutraliseerd worden. De eerste manier is de worteltreking die je al kent. Door het nemen van de de vierkantswortel, krijgen we in dit geval het grondtal terug.

Soms zijn we echter geïnteresseerd in de exponent en niet zozeer in het grondtal. De bewerking die we daarvoor nodig hebben, noemen we logaritme nemen. We zeggen dat het logaritme met grondtal 4 van 16 gelijk is aan 2 of, anders geformuleerd, \(\log_4 16\) is de macht waartoe we 4 moeten verheffen om 16 te krijgen: \(4^{\log_4 16} = 16\text{.}\)

Definitie 1.4.1.

De logaritme met grondtal \(a \in \mathbb{Q}^+_0 \setminus \lbrace 1 \rbrace\) van een strikt positief rationaal getal \(y\) is de exponent van de macht waartoe we \(a\) moeten verheffen om dit getal te krijgen:

\begin{equation*} \log_a y =x \Leftrightarrow a^x = y \end{equation*}

Aangezien de machtverheffing en het nemen van het logaritme inverse bewerkingen zijn geldt er steeds dat

\begin{equation*} a^{\log_a x}=x \qquad \text{en} \qquad \log_a a^x=x \end{equation*}

Opmerking 1.4.2.

Het grondtal van een logaritme is altijd strikt positief. Er geldt dus wel dat \((-2)^4=16\text{,}\) maar \(\log_{-2} 16\) is niet gedefinieerd. Later komen we daar nog in meer detail op terug.

Opmerking 1.4.3.

Het logaritme met grondtal 10 wordt veel gebruikt en men gebruikt dan ook vaak gewoon de notatie \(\log x\) i.p.v. \(\log_{10} x\text{.}\) De knop \(\log\) op je rekenmachine berekent eveneens het logaritme met grondtal 10. De knop \(\ln\) op je rekenmachine bereken het logaritme met grondtal \(e\text{,}\) maar daar komen we later nog op terug.

Opdracht 1.4.2.

Schrijf

\(9\) als een macht van 2;
\(12\) als een macht van 5.

Subsectie 1.4.2 Rekenregels voor logaritmen

Uit de definitie van logaritme en de rekenregels voor machten, kunnen rekenregels voor logaritmen afgeleid worden. Beschouw bijvoorbeeld

\begin{equation*} 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} \end{equation*}

Bij het vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, tel je de exponenenten op. Dit kunnen we door het toepassen van de definitie van logaritme schrijven als

\begin{align*} \log_2 (2^3 \cdot 2^4) \amp = \log_2 2^{3+4} \\ \amp = 3 + 4 \\ \amp = \log_2 2^3 + \log_2 2^4 \end{align*}

De algemene rekenregel is \(\log_a (x_1 \cdot x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2\) en kan als volgt bewezen worden.

Bewijs.

Stel

\begin{align*} \amp a^m = x_1 \Leftrightarrow m = \log_a x_1 \\ \amp a^n = x_2 \Leftrightarrow n = \log_a x_2 \end{align*}

We vertrekken van de rekenregel \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) en nemen \(\log_a\) van beide leden:

\begin{align*} \amp \log_a (a^m \cdot a^n) = \log_a a^{m+n}\\ \Leftrightarrow \; \amp \log_a (x_1 \cdot x_2) = m+n\\ \Leftrightarrow \; \amp \log_a (x_1 \cdot x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2 \end{align*}

De tweede rekenregel is \(\log_a \left (\frac{x_1}{x_2} \right ) = \log_a x_1 - \log_a x_2\text{.}\) We werken opnieuw even een voorbeeld uit met als vertrekpunt \(\dfrac{2^7}{2^4} = 2^{7-4}\)

\begin{align*} \log_2 \left (\dfrac{2^7}{2^4} \right ) = \; \amp \log_2 2^{7-4}\\ = \; \amp 7-4 \\ = \; \amp \log_2 2^7 - \log_2 2^4 \end{align*}

Voor de derde rekenregel vertrekken we van \(\left (2^3\right )^4 = 2^{3 \cdot 4}\)

\begin{align*} \log_2 \left (2^3\right )^4 = \; \amp \log_2 2^{4 \cdot 3} \\ =\; \amp 4 \cdot 3\\ =\; \amp 4 \cdot \log_2 2^3 \end{align*}

Algemeen: \(\log_a x^n = n\log_a x\)

Opdracht 1.4.3.

Bewijs zelf de tweede en de derde rekenregel.

Met behulp van de vierde rekenregel kan je het grondtal van het logaritme veranderen. Stel dat we \(\log_2 16\) willen berekenen door het grondtal te veranderen naar \(4\text{.}\) We weten dat

\begin{equation*} \log_2 16 = 4 \Leftrightarrow 2^4 = 16 \end{equation*}

We vertrekken van \(2^4 = 16\) en nemen hiervan het logaritme met grondtal 4:

\begin{align*} \amp \log_4 2^4 = \log_4 16\\ \Leftrightarrow \; \amp 4 \log_4 2 = \log_4 16 \quad \text{(derde rekenregel)}\\ \Leftrightarrow \; \amp \log_2 16 \cdot \log_4 2 = \log_4 16\\ \Leftrightarrow \; \amp \log_2 16 = \frac{\log_4 16}{\log_4 2} \end{align*}

Algemeen: \(\log_a x = \dfrac{\log_b x}{\log_b a}\)

Opdracht 1.4.4.

Bewijs de vierde rekenregel.

Opmerking 1.4.4.

De vierde rekenregel is voornamelijk handig als je een rekenmachine hebt die geen logaritmes met willekeurig grondtal kan berekenen.

Rekenregels voor logaritmen.

\(\forall a,b, x_1,x_2 \in \mathbb{Q}^+_0\) (\(a,b \neq 1\)) en \(\forall n \in \mathbb{N}_0\)

\begin{align*} \amp \log_a (x_1 \cdot x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2 \\ \amp \log_a \left ( \frac{x_1}{x_2} \right ) = \log_a x_1 - \log_a x_2 \\ \amp \log_a x^n = n \log_a x \\ \amp \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \end{align*}

Opmerking 1.4.5.

De vierde rekenregel is makkelijker te onthouden in de vorm \(\log_b a \cdot \log_a x = \log_b x\)

Opdracht 1.4.5.

Bewijs dat \(\boxed{\log_b a =\dfrac{1}{\log_a b}}\)

Verkenning 1.4.6.

(a)

Gebruik de vierde rekenregel om \(\log_9 3\) en \(\log_8 4\) te berekenen.

(b)

Pas de definitie toe om bovenstaande logaritmen als een macht te schrijven.

Vorig Top Volgend