Een macht met een negatieve exponent, zoals \(2^{-4}\text{,}\) kan niet meer geïnterpreteerd worden als een herhaalde vermenigvuldiging. Je kan een getal immers geen negatief aantal keren met zichzelf vermenigvuldigen, dat slaat nergens op. Bij het uitbreiden van de exponent van \(\mathbb{N}\) naar \(\mathbb{Z}\) gaat de oorspronkelijke betekenis van het begrip macht dus deels 1
\(a^{-n}\) kan wel nog steeds geïnterpreteerd worden als een herhaalde vermenigvuldiging van \(\frac{1}{a}\text{.}\)
verloren. Dit gebeurt eigenlijk continu in de wiskunde en je bent dit fenomeen al regelmatig tegengekomen zonder er waarschijnlijk echt bij stil te staan. Beschouw bijvoorbeeld het vermenigvuldigen van twee getallen in \(\mathbb{N}\text{.}\) Net zoals een macht een herhaalde vermenigvuldiging is, is een vermenigvuldiging in \(\mathbb{N}\) een herhaalde optelling: \(2+2+2=3 \cdot 2 = 6\text{.}\) Als één van de factoren negatief is, is er nog niet echt een probleem
Maar hoe bereken je nu \((-2) \cdot (-3)\text{?}\) Eigenlijk ligt vast dat \((-2) \cdot (-3) = 6 \) als je wil dat de basisrekenregels in \(\mathbb{N}\) blijven gelden in \(\mathbb{Z}\text{.}\) Beschouw bijvoorbeeld de bewerking \((7-2)\cdot(5-3) = 5 \cdot 2 = 10\text{.}\) Als we de haakjes eerst distributief uitwerken en de termen vervolgens optellen, willen we natuurlijk dat het resultaat nog altijd \(10\) is:
Toon zelf ook even aan dat de definitie \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\) uit de rekenregel \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) kan afgeleid worden.
Verkenning1.2.2.
(a)
Machten met rationale exponent kunnen helemaal niet meer als een herhaalde vermenigvuldiging geïnterpreteerd worden en bespreken we later. Bereken als voorsmaakje al even \(2^{\sfrac{1}{2}}\text{.}\) Vertrek hierbij van de rekenregel \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\text{.}\)
