Bepaal alle mogelijke functies (in tabelvorm) met dom \(f=\lbrace 2,9 \rbrace\) en ber \(f= \lbrace 4,6 \rbrace\text{.}\)
6.
Gegeven de functie \(f(x)=|x-5|\text{.}\) Behoort 2 tot het bereik van deze functie?
Oplossing.
Ja, \(f(7)=2\) en \(f(3)=2\text{.}\)
Lineaire functies en rechten
7.
Liggen de punten \((1,1)\text{,}\)\((4,-1)\) en \((-5,5)\) op één rechte? Indien ja, bepaal de vergelijking van deze rechte.
Antwoord.
Ja, op de rechte met vergelijking \(y=-\frac{2}{3}(x-1)+1\text{.}\)
8.
Bepaal de waarde van \(t\) zodat het punt \((t,2t)\) op de rechte door de punten \((3,-7)\) en \((5,-15)\) ligt.
Antwoord.
\(t=\frac{5}{6}\)
9.
Bepaal het snijpunt van de rechten \(y=5x+3\) en \(y=-2x+1\text{.}\)
Antwoord.
\(\left(-\frac{2}{7},\frac{11}{7} \right)\)
10.
Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt \((1,1)\) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten \((2,2)\) en \((4,1)\text{.}\)
Antwoord.
\(y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}\)
11.
Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt \((4,1)\) die loodrecht staat op de rechte \(y=3x+5\text{.}\) Gebruik onderstaande eigenschap:
De rechten \(y=a_1x+b_1\) en \(y=a_2x+b_2\) staan loodrecht op elkaar \(\Leftrightarrow a_1 \cdot a_2=-1\text{.}\)
Antwoord.
\(y=-\frac{x}{3}+\frac{7}{3}\)
12.
Bepaal de waarde van \(t\) zodat de rechte door de punten \((1,-2)\) en \((3,3)\) loodrecht staat op de rechte door de punten \((9,-1)\) en \((t,1)\text{.}\)
Antwoord.
\(t=4\)
13.
Bepaal \(b\) zodat de drie rechten \(y=2x+b\text{,}\)\(y=3x-5\) en \(y=-4x+6\) een gemeenschappelijk snijpunt hebben.
Antwoord.
\(b=-\frac{24}{7}\)
Functies samenstellen
14.
Gegeven \(f(x)=x^2\text{.}\) Schrijf \((f \circ f \circ f)(8)\) als een macht van 2.
15.
De straal \(r\) van een bolvormige ballon op een tijdstip van \(t\) seconden wordt gegeven door \(r=f(t)\text{.}\)\(V(r)\) is het volume van de ballon in kubieke centimeter als de straal gelijk is aan \(r\text{.}\) Geef, in woorden, de betekenis van de samengestelde functie \(V(f(3))\text{.}\)
Antwoord.
Het volume \(V\) van de ballon in kubieke centimeter op \(t=3\) seconden.
16.
Gegeven de functies \(f(x)=\dfrac{1}{x-4}\) en \(g(x)=x^2\text{.}\)
Bereken \((f \circ g)(3)\text{.}\)
Bepaal het functievoorschrift van \(f \circ g\text{.}\)
Bepaal het domein van \(f \circ g\text{.}\)
17.
Gegeven de functies \(f(x)=1+x\) en \(g(x)=x^2\text{.}\)
Bereken \((f \circ g)(4)\) en \((g \circ f)(4)\text{.}\)
Bepaal het functievoorschrift van \(f \circ g\) en van \(g \circ f\text{.}\)
18.
Gegeven de functies \(f(x)=3x-5\) en \(g(x)=-x+7\text{.}\)
De grafieken van \(g \circ f\) en \(f \circ g\) stellen evenwijdige rechten voor. Leg uit waarom.
Toon aan dat dit algemeen geldt, d.w.z toon aan dat voor twee willekeurige lineaire functies \(f\) en \(g\text{,}\) de grafieken van \(g \circ f\) en \(f \circ g\) evenwijdige rechten zijn.
19.
Bepaal het functievoorschrift van \(f \circ g\) en \(g \circ f\text{.}\) Vereenvoudig de bekomen uitdrukkingen.
Schrijf onderstaande functies als een samenstelling van drie of meer functies:
\(\displaystyle f(x)=-\dfrac{1}{2} \sqrt{3x+6}\)
\(\displaystyle f(x)=2+\sqrt{\dfrac{1}{x^2+1}}\)
\(\displaystyle f(x)=\dfrac{4}{5+x^2}\)
23.
Gegeven de functies \(f(x)=x^2\) en \(g(x)=\sqrt{x}\text{.}\)
Bepaal het domein van de functie \(g \circ f\text{.}\)
Bepaal het domein van de functie \(f \circ g\text{.}\)
24.
Als \(f(x)=x-1\) en \((g \circ f)(x)=x^2-1\text{,}\) bepaal dan \(g(3)\text{.}\)
(\(\star\)) Kan je ook \(g(x)\) bepalen?
Transformaties van grafieken
25.
Geef twee verschillende manieren om de grafiek van \(f(x)=x^2\) te transformeren in de grafiek van \(g(x)=-3(x-2)^2+1\text{.}\) Schrijf telkens de transformaties in de juiste volgorde op!
Oplossing.
Verschuiven volgens de \(x\)-as met 2 eenheden naar rechts; herschalen met een factor 3 volgens de \(y\)-as; spiegelen om de \(x\)-as; verschuiven volgens de \(y\)-as met 1 eenheid naar boven.
Herschalen met een factor 3 volgens de \(y\)-as; spiegelen om de \(x\)-as; verschuiven volgens de \(x\)-as met 2 eenheden naar rechts; verschuiven volgens de \(y\)-as met 1 eenheid naar boven.
26.
Geef de transformaties die de grafiek van \(f(x)=\sqrt{x}\) omzetten in de grafiek van \(g(x)=\sqrt{-3x+9}\text{.}\)
Oplossing.
Herschrijf eerst het functievoorschrift als \(g(x)=\sqrt{-3(x-3)}\text{.}\) De transformaties zijn dus spiegelen om de \(y\)-as, verschuiven volgens de \(x\)-as met drie eenheden naar links en herschalen met een factor \(\sqrt{3}\) volgens de \(y\)-as.
27.
Toon aan dat voor de functie \(f(x)=\sqrt{x}\) herschalen met een factor 2 volgens de \(y\)-as equivalent is met herschalen met een factor \(\dfrac{1}{4}\) volgens de \(x\)-as.
Toon aan dat voor de functie \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) herschalen met een factor 2 volgens de \(y\)-as equivalent is met herschalen met een factor 2 volgens de \(x\)-as.
van een rechte met richtingscoëfficiënt \(a\) door het punt \((x_1,y_1)\) eigenlijk gewoon een toepassing is op het transformeren van de grafiek van \(f(x)=x\text{.}\)
Oplossing.
Om de rechte met vergelijking \(y=x\) te transformeren in de rechte met vergelijking \(y=a(x-x_1)+y_1\) — d.w.z. in een rechte met rico \(a\) die gaat door het punt \((x_1,y_1)\) — heb je de volgende transformaties nodig: herschalen met een factor \(a\) volgens de \(y\)-as; verschuiven volgens de \(x\)-as met \(x_1\) eenheden naar rechts (\(x_1 \gt 0 \)) of links (\(x_1 \lt 0\text{;}\) verschuiven volgens de \(y\)-as met \(y_1\) eenheden naar boven (\(y_1 \gt 0 \)) of beneden (\(y_1 \lt 0 \)).
30.
Leg uit waarom de algemene vergelijking
\begin{equation*}
y=a(x-p)^2+q
\end{equation*}
van een parabool met top \((p,q)\) eigenlijk gewoon een toepassing is op het transformeren van de grafiek van \(f(x)=x^2\text{.}\)
Oplossing.
Om de parabool met vergelijking \(y=x^2\) te transformeren in de parabool met vergelijking \(y=a(x-p)^2+q\) heb je de volgende transformaties nodig: herschalen met een factor \(a\) volgens de \(y\)-as; verschuiven volgens de \(x\)-as met \(p\) eenheden naar rechts (\(p \gt 0 \)) of links (\(p \lt 0\text{;}\) verschuiven volgens de \(y\)-as met \(q\) eenheden naar boven (\(q \gt 0 \)) of beneden (\(q \lt 0 \)).
31.
Schrijf onderstaande functies als een samenstelling en schets stapsgewijs de grafiek
Bepaal het bereik van de functie \(h\) als \(h(t)=|t|+1\) en
dom \(h=]1,4]\)
dom \(h=[-8,2]\)
Antwoord.
\(]2,5]\) en \([1,9]\) (tip: teken even de grafiek!)
33.
Bepaal voor onderstaande grafieken het functievoorschrift en de transformaties die nodig zijn om de grafiek van de corresponderende elementaire functie om te zetten in de gegeven grafiek.
Schrijf onderstaande homografische functies in de vorm \(f(x)=\dfrac{r}{x-p} + q\) en bepaal de asymptoten. Schrijf voor elke asymptoot ook de limietnotatie op.
Bepaal het functievoorschrift van een homografische functie
met dom \(f = \mathbb{R} \setminus \lbrace 5 \rbrace \text{,}\) ber \(f = \mathbb{R} \setminus \lbrace 4 \rbrace \) en waarvan de grafiek gaat door het punt \((0,2)\)
met verticale asymptoot \(x=5\) en waarvan de grafiek door de punten \((-1,0)\) en \((4,10)\) gaat
Antwoord.
\(\displaystyle f(x)=\dfrac{10}{x-5}+4\)
\(\displaystyle f(x)=-\dfrac{12}{x-5} - 2\)
36.
(U) Gegeven de functies \(f_a(x)=\dfrac{2x+4}{8-ax}\text{.}\) Bepaal de horizontale en verticale asymptoten.
