Naar de hoofdinhoud

Analyse: 3de graad ASO met 5 of 7 lesuren per week

Nele Vermeulen

Oefeningen 4.7 Oefeningen

Puntsgewijze verandering en de afgeleide functie

1.

Bereken \(f'(2)\) als \(f(x)=x-x^2\text{.}\)

2.

Bereken \(f'(x)\) voor onderstaande functies:
  1. \(\displaystyle f(x)=x\)
  2. \(\displaystyle f(x)=x^2\)
  3. \(\displaystyle f(x)=x^3\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=x^3-4x^2+x\)

3.

Bepaal de afgeleide van \(f(x)=ax+b\text{.}\) Verklaar je resultaat.

4.

Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan de grafiek van \(f(x)=x^3\) in de punten \((a,f(a))\) met \(a=0\text{,}\) \(a=1\) en \(a=-\dfrac{1}{2}\text{.}\) Gebruik de uitdrukking voor \(f'(x)\) uit de vorige oefening. Maak ook een tekening van de grafiek en de raaklijnen in Desmos ter controle.

5.

Bepaal de vergelijking van de normaal in het punt \((1,1)\) aan de grafiek van \(f(x)=x^3\text{.}\) (De normaal in een punt van een grafiek is de rechte die loodrecht staat op de raaklijn in dit punt aan de grafiek.) Gebruik opnieuw de eerder bepaalde uitdrukking voor \(f'(x)\) en teken opnieuw grafiek, raaklijn en normaal ter controle.

6.

Gegeven een veeltermfunctie en een willekeurig interval \([a,b]\text{.}\) Er bestaat dan minstens één \(c \in ]a,b[\) zodat \(f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.}\) (Dit is een speciaal geval van de middelwaardestelling van Lagrange.)
  1. Bovenstaande stelling heeft een eenvoudige meetkundige interpretatie. Maak een tekening om die te verduidelijken.
  2. Gegeven de veeltermfunctie \(f(x)=4x^3-8x^2+7x-2\text{,}\) \(a=2\) en \(b=5\text{.}\) Bepaal alle getallen \(c\) waarvoor geldt dat \(f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\text{.}\) Maak een tekening in Desmos ter controle!

Rekenregels voor het afleiden van functies

7.

Bepaal de afgeleide van onderstaande functies. Je kan jezelf controleren met het commando Afgeleide in Geogebra (zie bijvoorbeeld hier
 1 
www.geogebra.org/cas/nurhayba
).
  1. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=(x+8)^5\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=(x^2+5)^3\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=(1-4x^3)^{-2}\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^3}+\frac{4}{x}+5\)
  5. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-3x+1}\)
  6. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{-3}{4x^2-2x+1}\)
  7. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x+1}\)
  8. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=\frac{(3x^5-2)^3}{(4x-1)^2}\)
  9. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=(2x+1)^3(x^2+1)^2\)
  10. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=\left ( \frac{1}{x^2+x} + 1 \right )^2\)
  11. \(\displaystyle \displaystyle f(x)=\left (\frac{2}{x-1}-x^{-3} \right )^4\)

Verloop van een veeltermfunctie

8.

Bereken de lokale extrema van
  1. \(\displaystyle f(x)=2x^3-3x^2-12x+7\)
  2. \(\displaystyle f(x)=x^4-2x^3-2x^2+1\)
Oplossing.
(a) \(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)\text{.}\) Het lokaal minimum is \(-13\) (wordt bereikt in \(x=2\)) en het lokale maximum is 14 (wordt bereikt in \(x=-1\)).
(b) \(f'(x)=x^4-2x^3-2x^2+1=4x\left(x+\dfrac{1}{2} \right) (x-2)\text{.}\) De lokale minima zijn \(\dfrac{13}{16}\) en \(-7\) (bereikt in \(x=-\dfrac{1}{2}\) en \(x=2\)) en lokaal maximum \(1\) (wordt bereikt voor \(x=0\)).

9.

Bereken de globale extrema van \(f(x)= 2x^3-9x^2\) in het interval \([0,5]\text{.}\)
Oplossing.
\(f'(x)=6x^2-18x=6x(x-3)\text{.}\) Lokaal maximum \(f(0)=0\text{,}\) lokaal minimum \(f(3)=-27\text{;}\) \(f(0)=0\) en \(f(5)=25\text{.}\) Globaal minimum is dus \(-27\) en globaal maximum is \(25\text{.}\)

10.

De som van twee positieve getallen is 12. Bepaal deze twee getallen zodat de som van hun kwadraten
  1. maximaal is.
  2. minimaal is.
Oplossing.
De wiskundige vertaling leidt tot de functie: \(f(x)=x^2+(12-x)^2 \Rightarrow f'(x)=2x+2(12-x)(-1)=4x-24\text{.}\) Het globale minimum wordt bereikt voor \(x=6\) en het globale maximum voor \(x=0\) of \(x=12\text{.}\)

11.

Gebruik je kennis over afgeleiden om het lokale extremum van de functie \(f(x)=ax^2+bx+c\) te bepalen. Wanneer bereikt de functie een minimum en wannneer een maximum? Vermeld eveneens de waarde van \(x\) waarvoor dit extremum bereikt wordt.
Oplossing.
\(f'(x)=2ax+b\text{,}\) dus de functie bereikt een extremum als \(x=-\dfrac{b}{2a}\text{.}\) Als \(a \lt 0 \) bereikt de functie een maximum
en als \(a \gt 0\) een minimum.
Het minimum of maximum zelf is telkens gelijk aan \(\dfrac{-D}{4a}\text{.}\)

12.

De functie \(f(x)=-x^3+2ax+b\) bereikt een lokaal maximum in het punt \((1,3)\text{.}\) Bepaal de waarden van \(a\) en \(b\text{.}\)
Oplossing.
\(f'(x)=-3x^2+2a\) en bijgevolg geldt
\begin{align*} \amp f'(x)=0 \\ \Leftrightarrow \; \amp x=\pm \sqrt{\frac{2a}{3}} \end{align*}
Aangezien het lokaal maximum bereikt wordt in \(x=1\) gebruiken we de positieve vierkantswortel om \(a\) te berekenen:
\begin{align*} \amp \sqrt{\frac{2a}{3}}=1 \Leftrightarrow a =\frac{3}{2} \end{align*}
Bovendien geldt er dat
\begin{equation*} f(1)=3 \Leftrightarrow -1+2a+b=3 \end{equation*}
Invullen van de waarde voor \(a\) geeft dan \(b=1\text{.}\)

13.

Gegeven de functie \(f(x)=x^3-\sqrt{3}kx^2+9x\text{.}\)
  1. Voor welke waarden van \(k \in \mathbb{R}\) heeft \(f\) precies twee extrema?
  2. Waarom heeft de grafiek van \(f\) altijd precies één buigpunt?
Oplossing.
  1. De afgeleide is
    \begin{align*} f'(x) \amp = 3x^2 -2 \sqrt{3} k + 9\\ \amp = 3 \left (x-\frac{\sqrt{3}}{3} k\right)^2 + 9 - k^2 \end{align*}
    De grafiek van \(f'\) is een dalparabool en heeft twee nulwaarden als \(9-k^2 \lt 0 \Leftrightarrow k \lt -3 \text{ of } k \gt 3\text{.}\) (Alternatief: druk uit dat de vergelijking \(3x^2-2 \sqrt{3} k + 9 = 0 \) twee verschillende oplossingen moet hebben.)
  2. Omdat \(f''(x)\) een lineaire functie is en bijgevolg één tekenwissel heeft.

14.

Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad die voor \(x=3\) een raaklijn met richtingscoëfficiënt \(-4\) heeft, voor \(x=5\) een lokaal extremum met waarde 0 bereikt en bovendien 0 als nulwaarde heeft.
Oplossing.
Aangezien \(x=0\) een nulwaarde is en \(x=5\) een tweevoudige nulwaarde (een lokaal extremum met waarde 0 betekent een raakpunt), is de algemene vorm van de functie \(f(x)=ax(x-5)^2\text{.}\) De waarde van \(a\) halen we dan uit de voorwaarde \(f'(3)=-4\text{:}\)
\begin{align*} \amp f'(x)=a(x-5)^2+2a(x-5)x \\ \Rightarrow \; \amp f'(3)=-8a \\ \Rightarrow \; \amp -8a=-4 \Leftrightarrow a=\frac{1}{2} \end{align*}

15.

Bepaal de intervallen waar de grafiek van onderstaande functies bol of hol is en bereken de coördinaten van de eventuele buigpunten.
  1. \(\displaystyle f(x)=x^3+3x^2-24x+20\)
  2. \(\displaystyle f(x)=3x^4-9x^2\)
Oplossing.
  1. Bol in het interval \(]-\infty,-1[\) en hol in het interval \(]-1,+\infty[\text{.}\) Het buigpunt is \((-1,46)\text{.}\)
  2. Bol in het interval \(\left ]-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right [\) en hol in het interval \(\left ]-\infty, -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right [ \) en in \(\left ] \dfrac{\sqrt{2}}{2}, +\infty\right [\text{.}\) De buigpunten zijn \(\left (\pm \frac{\sqrt{2}}{2} , -\frac{15}{4} \right )\text{.}\)

16.

Bepaal het verloop van de veeltermfunctie \(f(x)=x^3+x^2-8x+6\text{,}\) d.w.z bepaal het domein, bereik, nulwaarden, het stijgen/dalen, het bol/hol zijn, de buigpunten en schets de grafiek op basis van een samenvattende tabel.
Oplossing.

17.

Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad waarvoor \(P(2,4)\) een buigpunt is en waarvoor de richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn, i.e. de raaklijn aan de grafiek in het buigpunt, gelijk is aan \(-3\) en die voor \(x=4\) een relatief extremum heeft.
Oplossing.
We zoeken een voorschrift van de vorm \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) waarvoor geldt dat \(f(2)=4\text{,}\) \(f'(2)=-3\text{,}\) \(f''(2)=0\) en \(f'(4)=0\text{.}\) Uit \(f''(2)=0\) volgt dat \(b=-6a\text{,}\) en uit \(f'(2)=-3\) volgt dan dat \(c=12a-3\text{.}\) Uit \(f'(4)=0\) volgt dat \(c=0\) en bijgevolg is \(a=\dfrac{1}{4}\) en \(b=-\dfrac{3}{2}\text{.}\) En \(d=8\) omdat \(f(2)=4\text{.}\)

De differentiaal

18.

Een cirkelvormig plaatje zet uit door stijging van de temperatuur. Geef bij benadering de toename in oppervlakte als de straal wijzigt van 14,5 cm tot 14,6 cm.
Oplossing.
\begin{equation*} A=\pi r^2 \Rightarrow dA=2\pi r dr \end{equation*}
Voor \(r=14,5\) cm en \(dr = 0,1\) cm is de toename dus ongeveer 9,11 cm\(^2\text{.}\)

19.

Een staaf van 20 cm wordt vastgeklemd tussen twee punten en nadien opgewarmd. De diameter wijzigt van 16 mm tot 17 mm. Geef bij benadering de toename van het volume van de staaf.
Oplossing.
\begin{equation*} V=\pi r^2 l \Rightarrow dV = 2 \pi l r dr \end{equation*}
als de lengte niet verandert. Voor \(l = 20\) cm \(r=0,80\) cm en \(dr=0,05\) cm is de toename dus ongeveer 5 cm\(^3\text{.}\)

20.

Een frietzak is kegelvormig, heeft een hoogte van 18 cm en de diameter van de opening bedraagt 14 cm. Stel dat de hoogte van de frietzak met 2,0 cm toeneemt. Bereken bij benadering de toename in volume.
Oplossing.
\begin{equation*} V= \frac{1}{3} \pi r^2 h \Rightarrow dV = \frac{1}{3} \pi r^2 dh \end{equation*}
waarbij we opnieuw veronderstellen dat enkel de hoogte verandert. Voor \(r=7,0\) cm en \(dh=2,0 \) cm is de toename dus ongeveer \(10 \cdot 10\) cm\(^3\)

21.

Bereken voor 1 van bovenstaande oefeningen de exacte toename en de procentuele fout die je maakt door de verandering te benaderen met een differentiaal.
Oplossing.
Voor oefening 2 is de exacte toename
\begin{equation*} \pi l (r_2^2-r_1^2) = \pi \cdot 20 \text{ cm }( (0,85 \text{ cm })^2 - (0,80 \text { cm })^2 ) = 5 \text{ cm }^3 \end{equation*}
wat hetzelfde resultaat geeft.

Impliciet afleiden en raaklijnen aan krommen

22.

Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de kromme, voorgesteld door de vergelijking \(3y^3-2x^3+8x+2y=0\text{,}\) in het punt \(P(2,0)\text{.}\)
Oplossing.
We leiden de vergelijking impliciet af:
\begin{equation*} (9y^2+2) dy + (-6x^2+8) dx = 0 \end{equation*}
Invullen van \((2,0)\) geeft:
\begin{equation*} 2dy-16 dx =0 \Leftrightarrow \dfrac{dy}{dx}=8 \end{equation*}
De vergelijking van de raaklijn is dus
\begin{equation*} y=8(x-2) \end{equation*}

23.

Bepaal de vergelijking van de raaklijn en de normaal in het punt \((0,\sqrt{3}-2)\) aan de cirkel met vergelijking \((x-1)^2+(y+2)^2=4\)
Oplossing.
We leiden de vergelijking impliciet af:
\begin{equation*} 2 (x-1) dx + 2 (y+2)dy = 0 \end{equation*}
Invullen van \((0,\sqrt{3}-2)\) geeft:
\begin{equation*} -2 dx +2 \sqrt{3} dy =0 \Leftrightarrow \dfrac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{equation*}
De vergelijking van de raaklijn is dus
\begin{equation*} y=\frac{x}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}+3 \end{equation*}
en van de normaal
\begin{equation*} y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-2 \end{equation*}

24.

Bepaal de vergelijking van de raaklijn en de normaal in het punt \(P(0,2)\) van de hyperbool \(2y^2-x^2=8\text{.}\)
Oplossing.
We leiden de vergelijking impliciet af:
\begin{equation*} -2x dx + 4y dy = 0 \end{equation*}
Invullen van \((0,2)\) geeft:
\begin{equation*} dy = 0 \end{equation*}
De vergelijking van de raaklijn is dus
\begin{equation*} y=2 \end{equation*}
en van de normaal
\begin{equation*} x=0 \end{equation*}

25.

(7u) Bepaal de vergelijking van de ellips die de rechte \(5x-2y-9=0\) raakt in het punt \((1,-2)\text{.}\)

26.

(\(\star\)) Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan de hyperbool \(\dfrac{x^2}{6}-\dfrac{y^2}{8}=1\) die loodrecht staan op de rechte \(x+2y-2=0\text{.}\)

27.

Bereken door impliciet afleiden \(\dfrac{dy}{dx}\) voor de functie(s) bepaald door onderstaande vergelijkingen. Je mag het resultaat laten staan in functie van \(x\) en \(y\text{.}\)
  1. \(\displaystyle (x^2+y^2)^2=x^2-y^2\)
  2. \(\displaystyle (x^2+y^2)^2-2x(x^2+y^2)=y^2\)
  3. \(\displaystyle (x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0\)
Antwoord.
Je kan jezelf controleren met Geogebra
 2 
www.geogebra.org/cas/j3aw78vj
. Herleid wel het rechterlid eerst naar nul en vul vervolgens het linkerlid in bij \(f(x,y)\text{.}\)

Toepassingen van de afgeleide functie

28.

Veronderstel dat de massa \(m\) van een persoon afhangt van het aantal geconsumeerde calorieën \(c\) per dag: \(m=f(c)\text{.}\)
  1. Beschrijf in woorden wat de betekenis is van \(f'(2000)=0\text{.}\)
  2. Tom verhoogt zijn dagelijkse calorie-inname van 2600 tot 2700 en dit leidt tot een massatoename van 0,5 kg. Schrijf de wiskundige vertolking van bovenstaande zin op.

29.

De waarde \(W\) van een bepaald automodel hangt af van het aantal gereden kilometers \(k\text{:}\) \(W=f(k)\text{.}\) Geef een schatting voor \(f'(55000)\text{,}\) gegeven dat \(f(40000)=10000\) en \(f(70000)=6000\text{.}\)

30.

De temperatuur van koffie in een kopje bedraagt \(\theta=f(t)\) met \(t\) de tijd in minuten sinds het inschenken van de koffie. Schat de temperatuur van de koffie 36 minuten na het inschenken, gegeven dat \(|f'(35)|=1,5\) en \(f(35)=68\text{.}\)

31.

De lengte van een lijnstuk \([AB]\) is 6 cm. Een punt \(C\) verplaatst zich tussen de punten \(A\) en \(B\text{.}\) Op het lijnstuk \([AC]\) construeren we een vierkant \(ACDE\) en op het lijnstuk \([CD]\) een vierkant \(CBFG\text{.}\) Bepaal de plaats van het punt \(C\) zodanig dat de som van de oppervlakten van de vierkanten zo klein mogelijk is.

32.

Aan de vier hoeken van een rechthoekig stuk karton van 80 cm op 50 cm, snijdt men gelijke vierkanten weg. Van de rest maakt men een doos zonder deksel. Voor welke hoogte is het volume van de doos maximaal?

33.

In een bedrijf wordt een vierkant isolatiezaaltje gebouwd met een inhoud van \(800\) m\(^{3}\text{.}\) De vloertegels kosten 45 euro/m\(^{2}\text{,}\) de plafondtegels 35 euro/m\(^{2}\) en de wandtegels 50 euro/m\(^{2}\text{.}\) Bepaal de afmetingen waarvoor de kostprijs van het zaaltje minimaal is.

34.

Een fabrikant moet cilindervormige blikken (met deksel) maken met een inhoud van één liter. Hoe hoog moeten de blikken gemaakt worden als er zo weinig mogelijk blik moet gebruikt worden?

35.

Welk punt P van de parabool met vergelijking \(y=\dfrac{x^{2}}{4}\) ligt het dichtst bij het punt \(Q(3,2)\text{?}\) Tip: werk met het kwadraat van de afstand!

36.

Twee wegen hebben als kruispunt O en vormen een hoek van 90 graden. Om 8u ’s morgens vertrekken twee wandelaars. Wandelaar W1 bevindt zich dan op 17 km van O en wandelt met een snelheid van 3 km/h naar O toe. Wandelaar W2 bevindt zich op 9 km van O en wandelt met een snelheid van 2 km/h naar O toe. Bereken hun kortste onderlinge afstand en het tijdstip waarop die afstand bereikt wordt.

37.

Een kegelvormige berg zand groeit langzaam aan.
  1. Schrijf de ogenblikkelijke verandering van het volume, \(\dfrac{dV}{dt}\text{,}\) in functie van \(\dfrac{dh}{dt}\) en \(\dfrac{dr}{dt}\) met \(h\) de hoogte en \(r\) de straal van het grondvlak.
  2. Veronderstel dat de berg zo groeit dat de hoogte altijd gelijk is aan de helft van de straal en dat het zand naar beneden valt met een snelheid van 0,50 m\(^3\) per minuut. Hoe snel verandert de hoogte van de berg als de straal gelijk is aan 2,0 m?

38.

Een ladder met een lengte van 4,0 m staat tegen een muuur. Plots schuift de onderkant van de ladder weg van de muur met een snelheid van 1,2 m/s. Bepaal de snelheid waarmee de bovenkant van de ladder naar beneden glijdt langs de muur op het moment dat de onderkant van de ladder zich op een afstand van 1,5 m van de muur bevindt.

39.

Gas ontsnapt uit een bolvormige ballon met een snelheid van 900 cm\(^3\)/min. Hoe snel verandert de oppervlakte van deze ballon als de straal gelijk is aan \(355\) cm?

40.

Een meisje houdt een vieger vast op een hoogte van 12 m. Als de vlieger zich in horizontale richting van het meisje verwijdert met een snelheid van 3,0 m/s, hoe snel moet het touw dan afgewikkeld worden?
VorigTopVolgend