De functie \(f(x)=15x^3-44x^2-5x+6\) kan ontbonden worden als \(f(x)=15(x-3) \left (x+\dfrac{2}{5} \right) \left (x-\dfrac{1}{3} \right )\text{.}\) Dit betekent dat de oplossingenverzameling van de vergelijking \(15x^3-44x^2-5x+6 = 0 \) gelijk is aan \(V= \lbrace 3, \sfrac{1}{3},-\sfrac{2}{5} \rbrace \text{.}\)
Sectie 3.3 Veeltermvergelijkingen oplossen
Subsectie 3.3.1 Veeltermen ontbinden in factoren
Om een veeltermvergelijking op te lossen, steunen we op het feit dat het linkerlid kan ontbonden worden in een product van lineaire en onontbindbare kwadratische factoren:
\begin{align*}
\amp a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0\\
\Leftrightarrow \; \amp a_n(x-x_1)(x-x_2) \ldots ((x-p_1)^2+q_1)((x-p_2)^2+q_2)\ldots = 0\\
\Leftrightarrow \; \amp x-x_1=0 \qquad \text{of} \qquad x-x_2=0 \qquad \text{of} \quad \ldots = 0\\
\Leftrightarrow \; \amp x=x_1 \qquad \text{of} \qquad x=x_2 \qquad \text{of} \quad \ldots
\end{align*}
De oplossingenverzameling bestaat dus uit alle nulwaarden van de lineaire functies in de ontbinding: \(V= \lbrace x_1,x_2, \ldots \rbrace\)
Voorbeeld 3.3.1.
We herhalen kort de stappen die je het best doorloopt bij het ontbinden van een veelterm:
Ontbinden in factoren.
- Plaats een gemeenschappelijke factor voorop.\begin{equation*} 2x^3-4x=2x(x^2-2) \end{equation*}
- Gebruik je kennis van merkwaardige producten.\begin{gather*} 2x(x^2-2)=2x \left (x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)\\ 4x^2 -12x + 9 = (2x-3)^2 \end{gather*}
- Een tweedegraadsveelterm \(ax^2+bx+c\) kan je ontbinden in \(a(x-x_1)(x-x_2)\) als \(D \gt 0\) of in \(a(x-x_1)^2\) als \(D=0\text{.}\) Hierbij zijn \(x_1\) en \(x_2\) de oplossingen van de vierkantsvergelijking \(ax^2+bx+c=0\text{.}\) Als \(D \lt 0\) is de veelterm onontbindbaar.
- Gebruik de regel van Horner voor veeltermen van graad 3 en hoger waarin je geen merkwaardig product herkent.Met de regel van Horner kan je relatief snel factoren \((x-x_1)\) afsplitsen als \(x_1\) een geheel getal is. Als \((x-x_1)\) met \(x_1 \in \mathbb{Z}\) een factor is in de ontbinding van een veeltermfunctie, dan is \(x_1\) een deler van de constante term \(a_0\text{.}\) Het volstaat dus om alle delers van \(a_0\) even te controleren.
Voorbeeld 3.3.2.
We hernemen bovenstaand voorbeeld. Om de veelterm \(15x^3-44x^2-5x+6\) te onbinden gebruiken we eerst Horner om een factor \(x-3\) af te splitsen. We krijgen
\begin{align*}
\amp 15x^3-44x^2-5x+6\\
=\; \amp(x-3)(15x^2+x-2)
\end{align*}
| \(15\) | \(-44\) | \(-5\) | \(6\) | |
| \(3\) | \(|\) | \(45\) | \(3\) | \(-6\) |
| \(15\) | \(1\) | \(-2\) | \(0\) |
Vervolgens ontbinden we de veelterm van de tweede graad door de corresponderende vierkantsvergelijking op te lossen:
\begin{align*}
\amp 15x^2+x-2 = 0 \\
\Leftrightarrow \; \amp x^2+\frac{x}{15}=\frac{2}{15}\\
\Leftrightarrow \; \amp \left (x+\frac{1}{30} \right)^2=\frac{2}{15}+\frac{1}{900} \\
\Leftrightarrow \; \amp \left (x+\frac{1}{30} \right )^2=\frac{121}{900} \\
\Leftrightarrow \; \amp x+\frac{1}{30} = \pm \frac{11}{30} \\
\Leftrightarrow \; \amp x=\frac{1}{3} \qquad \text{of} \qquad x=-\frac{2}{5}
\end{align*}
We kunnen de veelterm dus verder ontbinden als
\begin{align*}
\amp (x-3)(15x^2+x-2)\\
= \; \amp 15 (x-3) \left (x+\dfrac{2}{5} \right) \left (x-\dfrac{1}{3} \right )
\end{align*}
Voor de volledigheid staat hieronder een lijstje van de belangrijkste merkwaardige producten.
Merkwaardige producten.
\begin{align*}
\amp (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\\
\amp (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\\
\amp x^2-y^2 = (x+y)(x-y)\\
\amp (x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
\amp (x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
\end{align*}
Subsectie 3.3.2 De regel van Horner
Een veeltermfunctie \(f\) van de \(n\)-de graad is een functie waarvan het functievoorschrift een \(n\)-de graadsveelterm is in \(x\text{:}\)
\begin{equation*}
f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0 \qquad (a_n \neq 0)
\end{equation*}
De regel van Horner is een efficiënt algoritme om de functiewaarde van een veelterm te berekenen. Het steunt op een alternatieve schrijfwijze van het functievoorschrift. We illustreren de regel onmiddellijk met een voorbeeld. De functie \(f(x)=x^3+3x^2-4\) kunnen we als volgt herschrijven:
\begin{align*}
x^3+3x^2-4 \amp = x(x^2+3x)-4\\
\amp = x(x(x+3))-4
\end{align*}
Om een bepaalde functiewaarde te berekenen, kan je een waarde voor \(x\) invullen en de haakjes van binnen naar buiten uitwerken:
\begin{align*}
f(-2) \amp = -2(-2(-2+3))-4\\
\amp =-2(-2(1))-4=4-4=0
\end{align*}
Deze manier om functiewaarden te berekenen kan je in een schematisch algoritme gieten zoals hiernaast wordt geïllustreerd.
| \(1\) | \(3\) | \(0\) | \(-4\) | |
| \(-2\) | \(|\) | \(-2\) | \(-2\) | \(4\) |
| \(1\) | \(1\) | \(-2\) | \(0\) |
Opmerking 3.3.3.
Let er op dat je de termen van de veelterm moet rangschikken volgens afnemende graad en dat er expliciet een nul moet geschreven worden als coëfficiënt van ontbrekende termen.
Opdracht 3.3.1.
Gebruik de regel van Horner om \(f(0)\text{,}\) \(f(1)\text{,}\) \(f(2)\) en \(f(3)\) te berekenen voor \(f(x)=x^3+3x^2-4\text{.}\) Reken eventueel nog een aantal functiewaarden uit totdat je het algoritme in de vingers hebt.
Als je een veeltermfunctie \(f\) kan schrijven als een product van factoren, dan kan je op basis daarvan niet alleen onmiddellijk de grafiek van die functie schetsen, maar ook snel de corresponderende veeltermvergelijkingen \(f(x)=0\) en ongelijkheden \(f(x) \le 0\) of \(f(x) \ge 0\) oplossen. Met behulp van de regel van Horner kan je relatief snel gehele nulwaarden opsporen:
Deelbaarheid door \((x-x_1)\).
Als \((x-x_1)\) met \(x_1 \in \mathbb{Z}\) een factor is in de ontbinding van een veeltermfunctie \(f(x)\text{,}\) dan is \(x_1\) een deler van de constante term \(a_0\text{.}\)
Door alle functiewaarden van de gehele delers van \(a_0\) te berekenen, kan je controleren voor welke delers \(x_1\) er geldt dat \(f(x_1)=0\text{.}\) De ontbinding van de veelterm zal dan een factor \((x-x_1)\) bevatten. De overblijvende factor is een veelterm van een graad lager met coëfficiënten die onmiddellijk volgen uit het schema van Horner. De regel van Horner is dus eveneens een algortme om een veelterm te delen door deler van de vorm \(x-x_1\text{.}\) Hernemen we het voorbeeld van hierboven dan volgt uit het schema van Horner dat \(\dfrac{x^3+3x^2-4}{x+2}= x^2+x-2\text{.}\)
Opdracht 3.3.2.
Splits met behulp van de regel van Horner één factor van de vorm \((x-x_1)\) af voor onderstaande veeltermen.
- \(\displaystyle x^3+6x^2+12x+8\)
- \(\displaystyle 6x^3-17x^2-4x+3\)
- \(\displaystyle 2x^4+5x^3-3x^2-8x+4\)
Oplossing.
Filmpje over de regel van Horner.
1
youtu.be/6VjQGJNSHSs\(1\) \(6\) \(12\) \(8\) \(-2\) \(|\) \(-2\) \(-8\) \(-8\) \(1\) \(4\) \(4\) \(0\) \(x^3+6x^2+12x+8=(x+2)(x^2+4x+4)\)\(6\) \(-17\) \(-4\) \(3\) \(3\) \(|\) \(18\) \(3\) \(-3\) \(6\) \(1\) \(-1\) \(0\) \(6x^3-17x^2-4x+3=(x-3)(6x^2+x-1)\)\(2\) \(5\) \(-3\) \(-8\) \(4\) \(1\) \(|\) \(2\) \(7\) \(4\) \(-4\) \(2\) \(7\) \(4\) \(-4\) \(0\) \begin{align*} \amp 2x^4+5x^3-3x^2-8x+4\\ =\; \amp (x-1)(2x^3+7x^2+4x-4) \end{align*}
Opdracht 3.3.3.
(U) Als \(x^3+3x^2-4=(x+2)(x^2+x-2)\text{,}\) dan betekent dit dat
\begin{equation*}
\frac{x^3+3x^2-4}{x+2}=x^2+x-2
\end{equation*}
Voer deze deling uit via een staartdeling (ook Euclidische deling genoemd). Controleer dat je hetzelfde resultaat krijgt als met de regel van Horner. Hoe je een staartdeling uitvoert, kan je in dit filmpje bekijken.
2
youtu.be/MZ7_kIrq1a0Opdracht 3.3.4.
(U) Bereken
\begin{equation*}
\frac{2x^4+5x^3-3x^2-8x+4}{x-1}
\end{equation*}
met een staartdeling en controleer dat je hetzelfde resultaat krijgt met de regel van Horner.
