Opdracht 1.6.1.
Toon aan dat de som van de eerste \(n\)-termen van een rekenkundige rij met verschil \(v\) gelijk is aan \(s_n= n \dfrac{u_1+u_n}{2}\text{.}\)
Tip.
Pas bovenstaand trucje gewoon toe op een algemene rekenkundige rij.
Sectie 1.6 Rekenkundige en meetkundige rijen
In deze paragraaf focussen we op rekenkundige en meetkundige rijen. Bij een rekenkundige rij is het verschil \(v\) van twee opeenvolgende termen constant. Bijvoorbeeld:
\begin{equation*}
1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, \ldots
\end{equation*}
Het verschil \(v\) is in dit geval gelijk aan \(5\) en een recursief voorschrift is
\begin{equation*}
u_{n+1}=u_n+5 \quad \text{met } u_1=1
\end{equation*}
\(31\) is de \(7\)-de term en er geldt dat
\begin{align*}
\amp 31 = 26 + 5 \\
\amp 31 = 21 + 2 \cdot 5 \\
\amp 31 = 16 + 3 \cdot 5 \\
\amp \qquad \ldots \\
\amp 31 = 1 + 6 \cdot 5
\end{align*}
Het expliciet voorschrift van een rekenkundige rij kunnen we dus algemeen noteren als
\begin{equation*}
u_n=u_1+(n-1)v
\end{equation*}
Als je drie willekeurige opeenvolgende termen neemt, is de middelste altijd het rekenkundig gemiddelde van de andere twee:
\begin{align*}
\amp 11 = \dfrac{6+16}{2}\\
\amp 26 = \dfrac{21+31}{2}
\end{align*}
Als we som van de termen willen berekenen, kunnen we volgend trucje gebruiken
\begin{align*}
s_7 = \; \amp \phantom{3}1 + \phantom{3}6 + 11 + 16 + 21 + 26 + 31 \\
s_7 = \; \amp 31 + 26 + 21 + 16 + 11 + \phantom{3}6 + \phantom{3}1 \\
\hline\\
\Rightarrow 2 s_7 = \; \amp 32 + 32 + 32 + 32 + 32 +32 +32
\end{align*}
waarbij \(s_7\) de som van de eerste \(7\) termen voorstelt. Hieruit volgt dat
\begin{equation*}
s_7 = 7 \cdot \frac{32}{2}
\end{equation*}
Algemeen bereken je de som van de eerste \(n\)-termen van een rekenkundige rij met verschil \(v\) via de formule
\begin{equation*}
s_n= n \frac{u_1+u_n}{2}
\end{equation*}
Rekenkundige rij.
Bij een rekenkundige rij is het verschil \(v\) van twee opeenvolgende termen constant. Het recursief voorschrift is
\begin{equation*}
u_{n+1}=u_n+v
\end{equation*}
en het expliciet voorschrift
\begin{equation*}
u_n=u_1+(n-1)v\text{.}
\end{equation*}
Enkele eigenschappen van rekenkundige rijen:
-
\(a, b, c\) zijn 3 opeenvolgende termen \(\Leftrightarrow b= \dfrac{a+c}{2}\)Dit betekent dat \(b\) het rekenkundig gemiddelde is van \(a\) en \(c\text{.}\)
- \(\displaystyle u_1+u_n=u_2+u_{n-1}=u_3+u_{n-2}=\ldots\)
- De som \(s_n\) van de eerste \(n\)-termen is gelijk aan\begin{equation*} s_n=n \dfrac{u_1+u_n}{2} \end{equation*}
Meetkundige rij.
Bij een meetkundige rij is het quotiënt \(q\) van twee opeenvolgende termen constant. \(q\) noemen we de reden van de meetkundige rij. Het recursief voorschrift is
\begin{equation*}
u_{n+1}=u_n \cdot q
\end{equation*}
en het expliciet voorschrift
\begin{equation*}
u_n = u_1 \cdot q^{n-1}
\end{equation*}
Enkele eigenschappen van meetkundige rijen:
-
\(a, b, c\) zijn 3 opeenvolgende termen \(\Leftrightarrow b^2= ac\)Dit betekent dat \(b\) het meetkundig gemiddelde is van \(a\) en \(c\text{.}\)
- \(\displaystyle u_1 \cdot u_n=u_2 \cdot u_{n-1}=u_3 \cdot u_{n-2}=\ldots\)
- De som \(s_n\) van de eerste \(n\)-termen is gelijk aan\begin{equation*} s_n=u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q} \end{equation*}
De rij
\begin{equation*}
3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16}, \frac{3}{32}, \frac{3}{64}, \ldots
\end{equation*}
is een meetkundige rij met reden \(q=\dfrac{1}{2}\text{.}\)
Opdracht 1.6.2.
Toon aan dat de som van de eerste \(n\)-termen van een meetkundige rij met reden \(q\) gelijk is aan \(s_n=u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}\text{.}\)
Tip.
Bekijk onderstaand voorbeeld:
\begin{align*}
s_7 = \; \amp 3 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{16} + \frac{3}{32} + \frac{3}{64} \\
\frac{1}{2}s_7 = \; \amp \frac{3}{2} + \frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{16} + \frac{3}{32} + \frac{3}{64} + \frac{3}{128}\\
\hline\\
\Rightarrow \frac{1}{2} s_7 = \; \amp 3 - \frac{3}{128}
\end{align*}
