Rij: notatie en terminologie.
We noteren een rij als \((u_n): u_1, u_2, \ldots\) en noemen \(u_i\) de termen van de rij. De index \(i=1,2,3,\ldots\text{.}\)
Sectie 1.5 Voorlopige definitie en bepaling van een rij
Een rij is een geordende lijst van getallen. Deze lijst kan eindig zijn, zoals bijvoorbeeld
\begin{equation*}
2,3,5
\end{equation*}
of oneindig zoals
\begin{equation*}
5, 10, 15, 20, \ldots
\end{equation*}
Merk op dat geordend dus niet betekent dat \(u_1 \le u_2 \le u_3 \le \ldots\) of \(u_1 \ge u_2 \ge u_3 \ge \ldots\text{,}\) maar enkel dat de getallen een bepaalde volgorde hebben in de lijst. Een welbepaald getal kan ook meerdere keren in een rij voorkomen. De rij
\begin{equation*}
1, -1, 1, -1, 1, -1, \ldots
\end{equation*}
bestaat bijvoorbeeld uit twee getallen die elkaar telkens afwisselen.
Een rij is volledig bepaald als elke term kan berekend worden. In sommige gevallen kan er een expliciet voorschrift voor de algemene term \(u_n\) opgeschreven worden. Zo kunnen we de rij \(5,10,15, \ldots\) noteren als
\begin{equation*}
(u_n) \, \text{ met } \, u_n=5n
\end{equation*}
Deze rij kan ook met een recursief voorschrift gedefinieerd worden:
\begin{equation*}
u_{n+1}=u_n+5 \text{ en } u_1=5
\end{equation*}
Als je een rij recursief definieert, bereken je elke term op basis van één of meerdere voorgaande termen. Een definitie via een recursief voorschrift is pas volledig als ook de nodige startwaarden gegeven zijn. De rij \((u_n)\) met recursief voorschrift \(u_{n+1}=u_n+5\) en \(u_1=5\) is gelijk aan \(5,10,15,\ldots\text{,}\) terwijl de rij met hetzelfde voorschrift, maar \(u_1=1\) gelijk is aan \(1,6,11, \ldots\)
Er bestaan natuurlijk heel wat rijen die niet met een voorschrift kunnen gedefinieerd worden. Denk bijvoorbeeld maar aan de rij van de priemgetallen: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, \ldots\)
Enkele belangrijke rijen.
- rekenkundige rijen, zoals \(5,10,15, \ldots\)
- meetkundige rijen, zoals \(1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \ldots\)
- de harmonische rij: \(1,\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{4}, \ldots\)
- de rij van Fibonacci: \(1,1,2,3,5,8,13, \ldots\)
Opdracht 1.5.1.
(a)
Stel expliciete voorschriften op voor onderstaande rijen:
- \(\displaystyle 1, 3, 5, 7, \ldots\)
- \(\displaystyle -1, 2, -3, 4, -5, \ldots\)
- \(\displaystyle 0, 3, 8, 15, 24, \ldots\)
Antwoord.
- \(\displaystyle u_n=2n-1\)
- \(\displaystyle u_n = (-1)^n n\)
- \(\displaystyle u_n=n^2-1\)
(b)
Stel een recursief voorschrift op voor onderstaande rijen:
- \(\displaystyle 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots \qquad \textrm{(rij van Fibonacci)}\)
- \(\displaystyle 0,3; 0,33; 0,333; \ldots\)
Antwoord.
- \(\displaystyle u_{n+1}=u_n+u_{n-1} \quad \textrm{met } u_1=u_2=1\)
- \(\displaystyle u_{n+1}=0,3+\frac{u_n}{10} \quad \textrm{met } u_1=0,3\)
Verkenning 1.5.2.
Probeer een patroon te vinden in onderstaande rijen. Kan je dit patroon in een expliciet voorschrift gieten?
(a)
\(0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, \ldots \)
(b)
\(2, 9, 28, 65, 126, 217, 344, \ldots\)
