Naar de hoofdinhoud

Analyse: 3de graad ASO met 5 of 7 lesuren per week

Nele Vermeulen

Oefeningen 1.8 Oefeningen

Machten met gehele exponent

1.

Bereken:
  1. \(\displaystyle (3+2)^2\)
  2. \(\displaystyle (-4)^{-1}\)
  3. \(\displaystyle \left ( -6 \right )^{-2}\)
  4. \(\displaystyle \left (\dfrac{1}{7} \right )^{-2}\)
  5. \(\displaystyle \left (\dfrac{4}{3} \right )^{-2}\)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle 25\)
  2. \(\displaystyle -\frac{1}{4}\)
  3. \(\displaystyle \frac{1}{36}\)
  4. \(\displaystyle 49\)
  5. \(\displaystyle \frac{9}{16}\)

2.

Schrijf
  1. \(9^{3000}\) als een macht van 3;
  2. \(2^5 \cdot 8^{1000}\) als een macht van 2.
Antwoord.
  1. \(\displaystyle 3^{6000}\)
  2. \(\displaystyle 2^{3005}\)

3.

Reken uit of vereenvoudig zoveel mogelijk.
  1. \(\displaystyle -(-x^2)-(-x)^2\)
  2. \(\displaystyle \left (2a^3 \cdot 3b^2 \right )^2\)
  3. \(\displaystyle \displaystyle \frac{8^4 \cdot 4^{-8}}{2^{-6}}\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle \left ( \frac{(x^2 y^{-5})^{-4}}{(x^5 y^{-2})^{-3}} \right )^2\)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle 0\)
  2. \(\displaystyle 36 a^6 b^4\)
  3. \(\displaystyle 4\)
  4. \(\displaystyle x^{14}y^{28}\)

4.

  1. Als \(3^x=\dfrac{1}{9}\text{,}\) bereken dan \(3^{x+3}\text{.}\)
  2. Als \(3^x=4\text{,}\) bereken dan \(3^{-2x}\text{.}\)
  3. Als \(2 x^3=5\text{,}\) bereken dan \(5 x^{-6}\text{.}\)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle 3\)
  2. \(\displaystyle \frac{1}{16}\)
  3. \(\displaystyle \frac{4}{5}\)

5.

Het omzetten van eenheden steunt ook op het rekenen met machten. Stel bijvoorbeeld dat we een volume van 4,5 dm\(^3\) willen omzetten naar mm\(^3\text{.}\) Het voorvoegsel \(d\) staat voor \(10^{-1}\) en het voorvoegsel \(m\) voor \(10^{-3}\text{.}\) Dit betekent dat mm\(^3 = (10^{-3}\text{m})^3 = 10^{-9} \text{m}^3\) en we krijgen
\begin{align*} \amp 4,5 \; \text{dm}^3\\ = \amp \; 4,5 \; (10^{-1} \text{m})^3\\ = \amp \; 4,5 \cdot 10^{-3} \; \text{m}^3\\ = \amp \; 4,5 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-6} \cdot 10^{6} \; \text{m}^3\\ = \amp \; 4,5 \cdot 10^{6} \cdot 10^{-9} \; \text{m}^3\\ = \amp \; 4,5 \cdot 10^{6} \; \text{mm}^3 \end{align*}
Zet volgende eenheden om
  1. 15 km naar dm
  2. 2,5 cm/ms naar m/s
  3. 50 kW naar GW
  4. 5 g/ml naar kg/m\(^3\) (denk eraan dat 1 dm\(^3=1\) l)
Antwoord.
  1. \(15 \cdot 10^4\) dm
  2. \(2,5 \cdot 10\) m/s
  3. \(50 \cdot 10^{-6}\) GW
  4. \(5 \cdot 10^3\) kg/m\(^3\)

6.

De wetenschappelijke gemeenschap heeft een standaard eenhedenstelsel, het SI-stelsel (Système international d’unités), vastgelegd dat bestaat uit zeven basiseenheden — vijf ervan ken je al: s (seconde, eenheid van tijd), m (meter, eenheid van lengte), kg (kilogram, eenheid van massa), K (Kelvin, eenheid van temperatuur) en mol (eenheid van stofhoeveelheid).
Afgeleide eenheden kunnen geschreven worden als een product van machten van de basiseenheden. Zo is de eenheid van
  • oppervlakte gelijk aan \(\text{m}^2\)
  • volume gelijk aan \(\text{m}^3\)
  • dichtheid gelijk aan \(\text{kg}/\text{m}^3= \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}\)
Belangrijke combinaties van afgeleide eenheden krijgen een eigen naam en symbool:
pascal
de eenheid van druk: \(\text{Pa}=\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2}=\text{N} \cdot \text{m}^{-2}\)
newton
de eenheid van kracht: \(\text{N}=\dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}}{\text{s}^2}=\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2}\)
joule
de eenheid van energie: \(\text{J} = \text{N} \cdot \text{m}\)
watt
de eenheid van vermogen: \(\text{W}=\dfrac{\text{J}}{\text{s}}\)
  1. Schrijf de eenheden joule en watt ook als een product van machten van basiseenheden.
  2. Verbind elke uitdrukking met de juiste eenheid.
    • Pa
    • \(\displaystyle \dfrac{\text{kg}}{\text{m}} \cdot \left (\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \right )^2\)
    • N
    • \(\displaystyle \dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{s}^3}\)
    • J
    • \(\displaystyle \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \)
    • W
    • \(\displaystyle \dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{m}^3 \cdot \text{s}^2}\)
Antwoord.
  1. \(\text{J}=\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}\) en \(W=\dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}{\text{s}}=\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-3}\)
    • \(\displaystyle \dfrac{\text{kg}}{\text{m}} \cdot \left (\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \right )^2 = \text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{s}^{-2} =\text{N} \)
    • \(\displaystyle \dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{s}^3}=\text{N} \cdot \frac{\text{m}}{\text{s}} =\text{W}\)
    • \(\displaystyle \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-2} = \text{N} \cdot \text{m} =\text{J}\)
    • \(\displaystyle \dfrac{\text{kg} \cdot \text{m}^2}{\text{m}^3 \cdot \text{s}^2} = \text{kg} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{s}^{-2} = \text{N} \cdot \text{m}^{-2} = \text{Pa}\)

Vierkantswortels

7.

Bereken of vereenvoudig zoveel mogelijk. Maak eventuele noemers steeds wortelvrij. Je mag ervan uit gaan dat \(a,b \in \mathbb{R}^+_0\text{.}\)
  1. \(\displaystyle (\sqrt{5})^6\)
  2. \(\displaystyle \sqrt{2}\sqrt{8}\)
  3. \(\displaystyle \sqrt{1,21}\)
  4. \(\displaystyle \sqrt{3^8}\)
  5. \(\displaystyle (2\sqrt{a^5})^4\)
  6. \(\displaystyle \dfrac{5\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\)
  7. \(\displaystyle (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})\)
  8. \(\displaystyle \left ( \dfrac{5}{\sqrt{2}} \right )^{-2}\)
  9. \(\displaystyle \left ( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right )^{6}\)
  10. \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{a^{-3}b^5}}{\sqrt{ab^{-7}}}\)
  11. \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{27a^7b}}{\sqrt{3a^3b^7}}\)
  12. \(\displaystyle (\sqrt{4}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{3})\)
  13. \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\)
  14. \(\displaystyle \sqrt{17-\sqrt{33}} \cdot \sqrt{17+\sqrt{33}}\)
  15. \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}\)
  16. \(\displaystyle \sqrt{9-4\sqrt{5}}\)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle (\sqrt{5})^6=5^3\)
  2. \(\displaystyle \sqrt{2}\sqrt{8}=4\)
  3. \(\displaystyle \sqrt{1,21}=1,1\)
  4. \(\displaystyle \sqrt{3^8}=3^4\)
  5. \(\displaystyle (2\sqrt{a^5})^4=2^4 a^{10}\)
  6. \(\displaystyle \dfrac{5\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=10\)
  7. \(\displaystyle (2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})=-1\)
  8. \(\displaystyle \left ( \dfrac{5}{\sqrt{2}} \right )^{-2}=\dfrac{2}{25}\)
  9. \(\displaystyle \left ( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right )^{6}=\dfrac{1}{27}\)
  10. \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{a^{-3}b^5}}{\sqrt{ab^{-7}}}=a^{-2} b^6\)
  11. \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{27a^7b}}{\sqrt{3a^3b^7}}=3a^2b^{-3}\)
  12. \(\displaystyle (\sqrt{4}+\sqrt{6})(\sqrt{2}-\sqrt{3})=-\sqrt{2}\)
  13. \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}\)
  14. \(\displaystyle \sqrt{17-\sqrt{33}} \cdot \sqrt{17+\sqrt{33}}=2^4=16\)
  15. \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}=1+\sqrt{2}\)
  16. \(\displaystyle \sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2\)

8.

Gegeven de uitdrukking \(\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}\) voor \(x,y \in \mathbb{R}^+\) en \(x \neq y\text{.}\) Maak de noemer wortelvrij.
Antwoord.
\(\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} =\sqrt{x} + \sqrt{y}\)

9.

Schrijf onderstaande uitdrukking zonder wortel:
\begin{equation*} \sqrt{x^2+6x+9} \end{equation*}
Antwoord.
\(|x+3|\)

Logaritmen

10.

Bereken zonder rekenmachine:
  1. \(\displaystyle \log 1000 \)
  2. \(\displaystyle \log_7 49 \)
  3. \(\displaystyle \log_2 64 \)
  4. \(\displaystyle \log_2 \dfrac{1}{8} \)
  5. \(\displaystyle \log_3 \dfrac{1}{81} \)
  6. \(\displaystyle \log_7 1 \)
  7. \(\displaystyle \log 0,01 \)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle \log 1000 =3\)
  2. \(\displaystyle \log_7 49 =2\)
  3. \(\displaystyle \log_2 64 =6\)
  4. \(\displaystyle \log_2 \dfrac{1}{8} = -3\)
  5. \(\displaystyle \log_3 \dfrac{1}{81} =-4\)
  6. \(\displaystyle \log_7 1 = 0\)
  7. \(\displaystyle \log 0,01 = -2 \)

11.

Bepaal \(a\) als
  1. \(\displaystyle \log_a 25 = 2\)
  2. \(\displaystyle \log_a 64 = 3\)
  3. \(\displaystyle \log_a 5 = -1 \)
  4. \(\displaystyle \log_a 9 = -2 \)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle a=5\)
  2. \(\displaystyle a=4\)
  3. \(\displaystyle a=\dfrac{1}{5}\)
  4. \(\displaystyle a=\dfrac{1}{3}\)

12.

Bepaal \(n\) als \(\log_3 (\log_5 n)=1\text{.}\)
Oplossing.
Stel \(\log_5 n = a\text{.}\) Uit \(\log_3 a = 1 \) volgt dat \(a=3\text{.}\) Uit \(\log_5 n = 3\) volgt dat \(n=125\text{.}\)

13.

Bereken zonder rekenmachine:
  1. \(\displaystyle \log_3 36 - \log_3 4\)
  2. \(\displaystyle \log_2 25 + \log_2 12 -\log_2 75\)
  3. \(\displaystyle \log_2 12 -3 \log_2 3 + 2 \log_2 6\)
  4. \(\displaystyle \log_2 3 \cdot \log_3 8\)
  5. \(\displaystyle \dfrac{\log 27}{\log 81}\)
  6. \(\displaystyle \log_{16} 32 \)
  7. \(\displaystyle \dfrac{4}{\log 5}-\dfrac{2}{\log_4 5}\)
Oplossing.
  1. \(\displaystyle \log_3 36 - \log_3 4=\log_3 9=2\)
  2. \(\displaystyle \log_2 25 + \log_2 12 -\log_2 75=\log_2 \dfrac{25 \cdot 12}{75}=\log_2{4}=2\)
  3. \(\displaystyle \log_2 12 -3 \log_2 3 + 2 \log_2 6=\log_2 \dfrac{12 \cdot 6^2}{3^3}=\log_2 16=4\)
  4. \(\displaystyle \log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 8 =3\)
  5. \(\displaystyle \dfrac{\log 27}{\log 81}=\frac{\log_3 27}{\log_3 81} = \sfrac{3}{4}\)
  6. \(\displaystyle \log_{16} 32 = \dfrac{\log_2 32}{\log_2 16} = \sfrac{5}{4}\)
  7. \(\displaystyle \dfrac{4}{\log 5}-\dfrac{2}{\log_4 5}=4\log_5 10 - 2 \log_5 4=\log_5 \dfrac{10^4}{4^2}=\log_5 5^4=4\)

14.

Bepaal \(x\text{:}\)
\begin{equation*} \log x + \log 4x = 2 \end{equation*}
Antwoord.
\(x=5\)

15.

Toon aan dat \(\log 500 = 3 - \log 2\) en \(1 + \log x= \log (10x)\text{.}\)

16.

Schrijf onderstaande uitdrukking in de vorm \(a + b \log x + c \log y + d \log z\text{:}\)
\begin{equation*} \log \left ( 10 \dfrac{x^4y^2}{z^3} \right ) \end{equation*}
Antwoord.
\begin{equation*} \log \left ( 10 \dfrac{x^4y^2}{z^3} \right ) = 1 + 4\log x + 2\log y - 3 \log z \end{equation*}

17.

Bewijs dat
  1. \(\displaystyle a^{\log b} = b^{\log a}\)
  2. \(\displaystyle \log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \log_d a = 1\)
  3. \(\displaystyle \dfrac{1}{\log_a c} +\dfrac{1}{\log_b c}=\dfrac{1}{\log_{ab} c}\)
  4. \(\displaystyle \log_c ax=(1+\log_a x) \cdot \log_b a \cdot \log_c b\)
Oplossing.
Zie nota’s les en map modeloplossingen op Smartschool.

Expliciet en recursief voorschrift van een rij

18.

Stel expliciete voorschriften op voor onderstaande rijen:
  1. \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\)
  2. \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\)
  3. \(\sqrt{3}\text{,}\) \(\sqrt{12}\text{,}\) \(\sqrt{27}\text{,}\) \(\sqrt{48}\text{,}\) \(\ldots\)
  4. \(\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}, \frac{5}{32}, \ldots\)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle \displaystyle u_n = \frac{1}{n}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle u_n = \frac{1}{2^{n-1}}\)
  3. \(\displaystyle u_n = \sqrt{3n^2} = n \sqrt{3}\)
  4. \(\displaystyle \displaystyle u_n = \frac{n}{2^{n}}\)

19.

Stel een recursief en een expliciet voorschrift op voor onderstaande rijen:
  1. \(\displaystyle 7, 10, 13, 16, \ldots\)
  2. \(\displaystyle -1, 1, -1, 1, \ldots\)
  3. \(\displaystyle 2, \frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{27}\)
Antwoord.
  1. \begin{align*} \amp u_{n+1}=u_n+3 \quad \text{met }u_1=7\\ \amp u_n = 7+3(n-1) \end{align*}
  2. \begin{align*} \amp u_{n+1}=-u_n \quad \text{met }u_1=-1\\ \amp u_n = (-1)^n \end{align*}
  3. \begin{align*} \amp u_{n+1}=\frac{u_n}{3} \quad \text{met }u_1=2\\ \amp u_n = \frac{2}{3^{n-1}} \end{align*}

20.

Stel een recursief voorschrift op voor onderstaande rijen:
  1. \(\displaystyle -1, 2, -3, 4, -5, \ldots\)
  2. \(\displaystyle 0,15; 0,1515; 0,151515; \ldots\)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle u_{n+1}=-u_n-\frac{u_n}{|u_n|} \quad \text{met } u_1=-1\)
  2. \(\displaystyle u_{n+1}=0,15+\frac{u_n}{100} \quad \textrm{met } u_1=0,15\)

21.

Het recursief voorschrift van een rij is \(u_{n+1}=2u_n-1\) en \(u_5=113\text{.}\) Bepaal \(u_1\text{.}\)
Antwoord.
\(u_1=8\)

22.

Geef voor de rij \(u_n=3n-2\) het recursief voorschrift en de beginwaarde \(u_1\text{.}\)
Antwoord.
\(u_{n+1}=u_n+3 \quad \text{met } u_1=1\)

23.

Beschouw de rij \(u_n=n^2+n\text{.}\) Vanaf welk rangnummer is \(u_n \gt 100\text{?}\)
Antwoord.
\(n=10\)

24.

Stijn heeft op 1 januari 2020 een bedrag van 500 euro op een spaarrekening gezet. Hij krijgt elk jaar \(4\%\) intrest en neemt elk jaar ook 50 euro van de spaarrekening op. Stel een recursief voorschrift op voor de rij die het totale bedrag op de spaarrekening voorstelt.
Antwoord.
\(u_{n+1}=1,04u_n -50 \) met \(u_1=500\)

25.

Een bos heeft momenteel een populatie van 300 konijnen en dit aantal neemt jaarlijks toe met \(15\)%. Om de groei wat in te perken worden er jaarlijks ook 100 konijnen door de boswachter gedood. Stel een recursief voorschrift op voor de rij die het aantal konijnen voorstelt.
Antwoord.
\(u_{n+1}=1,15u_n -100 \) met \(u_1=300\)

26.

Gegeven de rij met recursief voorschrift
\begin{equation*} u_{n+1}=\frac{1}{1-u_n} \end{equation*}
Toon aan dat \(u_{n+3}=u_n\text{.}\)

27.

De rij \((v_n)\) met \(v_{n+1}=3v_n-2\) en \(v_1=2\) heeft een expliciet voorschrift van de vorm \(v_n=a \cdot 3^n+b\text{.}\) Bereken \(a\) en \(b\text{.}\)
Antwoord.
\(a=\dfrac{1}{3}\) en \(b=1\)
Oplossing.
\(v_1=2\) en uit het recursief voorschrift volgt onmiddellijk dat \(v_2=4\text{.}\) Met behulp van het expliciet voorschrift leiden deze twee waarden tot onderstaand stelsel in \(a\) en \(b\text{:}\)
\begin{equation*} \begin{cases} 3a+b=2 \\ 9a+b=4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = \dfrac{1}{3} \\ b = 1 \end{cases} \end{equation*}

28.

(\(\star\)) Je mag altijd het meest eenvoudige voorschrift opstellen dat correspondeert met de termen van een gegeven rij. Voor de rij \(1, 4, 9, 16, \ldots\) is dit \(u_n=n^2\) waarbij we er impliciet vanuit gaan dat de volgende term gelijk is aan 25. Het is natuurlijk ook mogelijk dat de volgende term niet gelijk is aan 25, maar bijvoorbeeld aan 31. Stel een expliciet voorschrift op voor de rij \(1, 4, 9, 16, 31, \ldots\text{.}\)

Rekenkundige en meetkundige rijen

29.

Toon aan dat de rij met expliciet voorschrift \(u_n=9^{1-n} \cdot 4^{n+2}\) een meetkundige rij is en bepaal \(u_1\) en \(q\text{.}\)
Oplossing.
Het voorschrift kan geschreven worden als
\begin{equation*} u_n = 9 \cdot 4^2 \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^n \end{equation*}
dus \(q=\dfrac{4}{9}\) en \(u_1=4^3=64\text{.}\)

30.

Bereken de tiende term van een rekenkundige rij waarvoor \(u_2=7\) en \(u_5=35\text{.}\) Herhaal voor een meetkundige rij met dezelfde eigenschappen.
Antwoord.
\(u_{10}=\frac{245}{3}\) en \(u_{10}=35 \cdot \left ( \sqrt[3]{5} \right )^5\)
Oplossing.
Het verschil van de rekenkundige rij is \(\frac{28}{3}\) en de reden van de meetkundige rij is \(\sqrt[3]{5}\text{.}\)

31.

Bereken de som \(12+19+26+33+\ldots+208\text{.}\)
Oplossing.
Bepaal eerst het aantal termen m.b.v. de formule \(u_n=u_1+(n-1)v\) en vervolgens de som met de formule \(s_n=n \dfrac{u_1+u_n}{2}\text{.}\) Dit levert \(s_{29}=3190\text{.}\)

32.

In een hoektribune van een sportstadion bevat elke rij stoelen twee stoelen meer dan de vorige rij. De eerste rij telt 15 stoelen, de laatste rij 49. Hoeveel stoelen bevat de tribune?
Antwoord.
\(s_{18}=576\)

33.

Hoeveel opeenvolgende natuurlijke getallen, beginnend bij het getal 1, moet je optellen om als som 153 te verkrijgen?
Antwoord.
\(n=17\)

34.

Je stort 1000 euro op een rekening die \(5\%\) interest per jaar heeft. Hoeveel kapitaal staat er op die rekening na 10 jaar?
Oplossing.
\(u_{11}=1000 \cdot (1,05)^{10}=1629\)

35.

Door een ongeval is een bepaalde plaats gecontamineerd met 5000 radioactieve deeltjes. Het aantal deeltjes vermindert met \(10\%\) per maand. Hoelang duurt het (in maanden) vooraleer er minder dan 2000 radioactieve deeltjes overblijven?
Oplossing.
\begin{align*} \amp 2000 = 5000 \cdot (0,90)^{n-1}\\ \Rightarrow \amp \log \frac{2}{5} = (n-1) \log 0,9 \approx 8,7 \end{align*}
Dit duurt dus ongeveer 9 maanden.

36.

Stel dat je een spiraal vormt met behulp van halve cirkels zoals weergegeven in onderstaande figuur. Bereken de lengte van de spiraal die opgebouwd is uit 100 halve cirkels.
Antwoord.
\(2575\pi\)

37.

Voor een rekenkundige rij geldt dat \(u_1+u_2+u_3=12\) en bovendien vormen \(u_1, u_2, u_6\) een meetkundige rij. Bepaal \(u_{10}\text{.}\)
Oplossing.
\begin{equation*} u_1+u_2+u_3=12 \Rightarrow \begin{cases} u_1 = 4-v \\ u_2=4 \\ u_3 = 4+v\end{cases} \end{equation*}
en bovendien weten we dat \(u_6=4+4v\text{.}\) Aangezien \(u_1,u_2,u_6\) een meetkundige rij vormen, moet er gelden dat
\begin{equation*} \frac{u_2}{u_1}=\frac{u_6}{u_2} \Rightarrow \frac{4}{4-v}=\frac{4+4v}{4} \end{equation*}
Deze vergelijking heeft als oplossingen \(v=0\) of \(v=3\text{.}\) \(v=0\) leidt tot de triviale rij \(4,4,4,\ldots\) en voor \(v=3\) is \(u_{10}=u_2+8v=28\text{.}\)

38.

(U) In een rekenkundige rij is de som van de eerste \(p\) termen gelijk aan \(q\) en de som van de eerste \(q\) termen gelijk aan \(p\) (\(p \neq q\)). Toon aan dat het verschil \(v\) gelijk is aan \(-2\dfrac{p+q}{pq}\text{.}\)

Symbolische sommaties

39.

Schrijf de volgende sommen voluit
  1. \(\displaystyle \displaystyle \sum_{i=2}^n (2i-1)=\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^n 2^{k+1} x^k=\)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle \displaystyle \sum_{i=2}^n (2i-1)=3+5+\ldots+2n-1\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle \sum_{k=0}^n 2^{k+1} x^k=2+4x+8x^2+\ldots+2^{n+1}x^n\)

40.

Schrijf onderstaande uitdrukkingen in sigma-notatie:
  1. \(\displaystyle 3-5+7-9+11-13+15 =\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\frac{1}{14}+\frac{1}{17} =\)
  3. \(\displaystyle 3x+7x^2+11x^3+15x^4+19x^5+23x^6=\)
Antwoord.
  1. \(\displaystyle 3-5+7-9+11-13+15 = \sum_{i=1}^7 (-1)^{i+1}(2i+1)\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\frac{1}{11}+\frac{1}{14}+\frac{1}{17} = \sum_{i=0}^5 \frac{1}{3i+2}\)
  3. \(\displaystyle 3x+7x^2+11x^3+15x^4+19x^5+23x^6= \sum_{i=0}^5 (4i+3)x^{i+1}\)

41.

Gebruik symbolische sommaties om te bewijzen dat de som van de eerste \(n\) termen van een rekenkundige rij gelijk is aan
\begin{equation*} s_n=n \frac{u_1+u_n}{2} \end{equation*}
VorigTopVolgend