Het functievoorschrift van een lineaire functie \(f\) wordt gegeven door \(f(x)=ax+b\) (\(a,b \in \mathbb{R}\) en \(a \neq 0\)). De grafiek van een lineaire functie is een schuine rechte en \(a\) en \(b\) hebben een eenvoudige meetkundige interpretatie.
richtingscoëfficiënt
De richtingscoëfficiënt (afkorting: rico) \(a\) bepaalt de snelheid waarmee de functiewaarden stijgen of dalen (i.e. de “steilheid” van de rechte). Met behulp van twee willekeurige punten \((x_1,y_1)\) en \((x_2,y_2)\) van de rechte, bereken je de rico als volgt:
\begin{equation*}
a = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
\end{equation*}
snijpunt met \(y\)-as
\(b\) is de \(y\)-coördinaat van het snijpunt van de rechte met de \(y\)-as.
De vergelijking van een rechte evenwijdig met de \(x\)- of de \(y\)-as opstellen is erg eenvoudig.
De rechte door de punten \((-1,2)\) en \((4,2)\) is evenwijdig met de \(x\)-as en heeft als vergelijking \(y=2\text{.}\)
De rechte door de punten \((3,1)\) en \((3,5)\) is evenwijdig met de \(y\)-as en heeft als vergelijking \(x=3\text{.}\)
Schuine rechten.
De vergelijking van een schuine rechte kan op verschillende manieren bepaald worden.
Een schuine rechte kan altijd beschouwd worden als de grafiek van een lineaire functie \(f(x)=ax+b\) (\(a,b \in \mathbb{R}\) en \(a \neq 0\)). \(a\) en \(b\) kunnen dan bepaald worden door de coördinaten van twee punten in te vullen en het \(2 \times 2\)-stelsel in \(a\) en \(b\) op te lossen.
Je kan de richtingscoëfficiënt \(a\) grafisch bepalen of berekenen met behulp van de coördinaten van twee punten. Vervolgens kan je \(b\) bepalen door de coördinaten van een punt in te vullen en een lineaire vergelijking op te lossen. \(b\) kan soms ook onmiddellijk grafisch bepaald worden.
Je kan ook rechtstreeks steunen op de formule voor de vergelijking van een rechte door een punt \((x_1,y_1)\) en met richtingscoëfficiënt \(a\text{:}\)
We bepalen de vergelijking van de rechte door de punten \((2,1)\) en \((5,3)\) op de drie verschillende manieren.
De coördinaten van de punten invullen in de vergelijking \(y=ax+b\) leidt tot het stelsel \(\begin{cases} 1=2a+b \\ 3=5a+b \end{cases}\text{.}\) We lossen dit stelsel op met de combinatiemethode om \(a\) en \(b\) te bepalen.
Leid de vergelijking \(y=a(x-x_1)+y_1\) af uit de vergelijking \(y=ax+b\text{.}\)
Oplossing.
Punt \((x_1,y_1)\) invullen in \(y=ax+b \Rightarrow b=y_1-ax_1\text{.}\) Deze uitdrukking voor \(b\) terug invullen in \(y=ax+b\) geeft de gevraagde vergelijking.
(b)
De vergelijking van de rechte door de punten \((c,0)\) en \((0,d)\) is
We vertrekken van de vergelijking \(y=a(x-x_1)+y_1\) en vullen het punt \((c,0)\) in \(\Rightarrow y=a(x-c)\text{.}\) Vervolgens vullen we het punt \((0,d)\) in om \(a\) te bepalen: \(d=a(-c) \Rightarrow a=-\frac{d}{c}\text{.}\) De vergelijking wordt dan
(U) De rechten \(y=a_1x+b_1\) en \(y=a_2x+b_2\) staan loodrecht op elkaar \(\Leftrightarrow a_1 \cdot a_2=-1\text{.}\)
Bewijs dit!
Oplossing.
Bewijs via gelijkvormige driehoeken.
Beschouw de rechte \(OA\) met vergelijking \(y=a_1x\) en de rechte \(OC\) met vergelijking \(y=a_2x\text{.}\) We kiezen het punt \(B\) zo dat \(|OB|=1\text{.}\) Hieruit volgt dan dat \(|AB|=a_1\) en \(|BC|=-a_2\text{.}\) De driehoek \(OBA\) is gelijkvormig met de driehoek \(CBO\)
