Harmonische trillingen, zoals de beweging van een trillende massa aan een veer of de beweging van een aangeslagen stemvork, worden wiskundig beschreven met behulp van sinusfuncties. Een harmonische trilling kan beschouwd worden als de projectie van een punt dat een eenparig cirkelvormige beweging uitvoert. Dit betekent dat de grafiek van de sinusfunctie \(\sin x\) kan getekend worden door de punten die liggen op de goniometrische cirkel te projecteren op de \(y\)-as.
Subsectie5.1.1Elementaire eigenschappen van de sinusfunctie
De grafiek van de sinusfunctie ontstaat door de koppels \(\left(x,\sin\left(x\right)\right)\) uit te zetten met \(x\) de lengte van de cirkelboog van \((1,0)\) tot \((\cos x,\sin x)\text{.}\)
Je kan \(x\) nog steeds interpreteren als een hoek, maar in de context van goniometrische functies heeft dat meestal weinig zin. Het aantal uren daglicht in functie van de dag kan bijvoorbeeld gemodelleerd worden met een sinusfunctie, maar het is niet nuttig om in een dergelijke context met hoeken te redeneren.
Als we de volledige goniometrische cirkel doorlopen hebben, dan herhaalt de grafiek zich. De functiewaarden op het interval \([2\pi,4\pi[\) zijn dus dezelfde als deze op het interval \([0,2\pi[\text{.}\) We zeggen dat de sinusfunctie een periodieke functie is met periode \(T=2\pi\text{.}\) Er geldt dus steeds dat
\begin{equation*}
\sin(x+2\pi)=\sin x
\end{equation*}
Het domein van de sinusfunctie is \(\mathbb{R}\text{,}\) het bereik is het interval \([-1,1]\text{,}\) de nulwaarden zijn \(k \pi\) met \(k \in \mathbb{Z}\text{,}\) de lokale maxima worden bereikt in \(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) met \(k \in \mathbb{Z}\) en de lokale minima in \(-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\) met \(k \in \mathbb{Z}\text{.}\)
Subsectie5.1.2Grafieken van samengestelde sinusfuncties
De grafiek van een samengestelde functie schetsen of het functievoorschrift op basis van de grafiek bepalen kan je al voor de andere elementaire functies. In onderstaande tabel vind je nog eens het verband tussen de transformaties van een grafiek en de specifieke aanpassingen van het functievoorschrift.
aanpassing van \(f(x)\)
effect op grafiek
\(x\) vervangen door \(x-a\)
verschuiven volgens \(x\)-as met \(a\) eenheden naar rechts
\(x\) vervangen door \(x+a\)
verschuiven volgens \(x\)-as met \(a\) eenheden naar links
\(f(x)\) vervangen door \(f(x)+a\)
verschuiven volgens \(y\)-as met \(a\) eenheden naar boven
\(f(x)\) vervangen door \(f(x)-a\)
verschuiven volgens \(y\)-as met \(a\) eenheden naar beneden
\(x\) vervangen door \(a \cdot x\)
herschalen volgens \(x\)-as met factor \(\dfrac{1}{a}\)
\(f(x)\) vervangen door \(a \cdot f(x)\)
herschalen volgens \(y\)-as met factor \(a\)
\(x\) vervangen door \(-x\)
spiegelen om de \(y\)-as
\(f(x)\) vervangen door \(-f(x)\)
spiegelen om de \(x\)-as
Beschouw de functie \(f(x)=\sin(3x+6)\text{.}\) In tegenstelling tot bij \(\sqrt{3x+6}\text{,}\) kunnen we nu natuurlijk geen factor \(\sin(3)\) afzonderen. Herschalen volgens de \(x\)-richting heeft dus een compleet ander effect dan herschalen volgens de \(y\)-richting. We kunnen wel schrijven dat \(f(x)=\sin(3x+6)=\sin[3(x+2)]\) en de grafiek van \(f\) krijgen we dus door de grafiek van de sinusfunctie over twee eenheden naar links te schuiven en te herschalen met een factor \(\frac{1}{3}\) volgens de \(x\)-as. Dit betekent natuurlijk ook dat de periode van \(f\) gelijk is aan \(T=\frac{2 \pi}{3}\) (pas dezelfde herschaling toe):
De goniometrische cirkel is opnieuw een handig hulpmiddel om meer inzicht te krijgen in de structuur van een sinusfunctie.
Voorbeeld5.1.1.Een grafiek visualiseren m.b.v. de goniometrische cirkel.
We gaan even na hoe je het herschalen en verschuiven volgens \(x\) kan begrijpen door te steunen op de goniometrische cirkel. We beschouwen de functie \(f(x)=\sin[3(x+2)]\text{.}\)
\(x+2\) betekent dat de grafiek van \(f\) “begint” bij een booglengte (of een hoek) van 2 i.p.v 0. Dit komt neer op een verschuiving naar links over 2 eenheden:
\(3x\) betekent dat de goniometrische cirkel drie keer zo snel doorlopen wordt. Als \(x=\frac{\pi}{2}\text{,}\) dan is de functiewaarde van \(\sin x\) gelijk aan \(1\) en de functiewaarde van \(\sin 3x\) gelijk aan \(-1\text{.}\)\(\frac{\pi}{2}\) is dus gelijk aan \(\frac{3}{4}\) van de periode van \(\sin 3x\text{,}\) of de periode van \(\sin 3x\) is gelijk aan \(\frac{2\pi}{3}\text{.}\)
Het gecombineerd effect van beide aanpassing ziet er als volgt uit
Andere voorbeelden van het verband tussen de goniometrische cirkel en de grafiek van een samengestelde sinusfunctie vind je in de Desmosactiviteit over de sinusfunctie.
De algemene sinusfunctie.
De grafiek van de algemene sinusfunctie \(f(x)=a \sin [b(x-c)] + d\) (\(a,b \gt 0\)) krijgen we door de grafiek van \(y=\sin x\)
te verschuiven over \(c\) eenheden naar rechts als \(c>0\) en \(c\) eenheden naar links als \(c \lt 0\text{;}\)
te herschalen met een factor \(\dfrac{1}{b}\) volgens de \(x\)-as
te herschalen met een factor \(a\) volgens de \(y\)-as
te verschuiven over \(d\) eenheden naar boven als \(d \gt 0\) en \(d\) eenheden naar beneden als \(d \lt 0\text{;}\)
We noemen
\(a\)
de amplitude
\(b\)
de pulsatie
\(c\)
het faseverschil
\(d\)
de evenwichtsstand
Aangezien er wordt herschaald volgens de \(x\)-as met een factor \(1/b\) is de periode
Als \(a \lt 0 \) dan wordt de grafiek na stap 3 gespiegeld rond de \(x\)-as en als \(b \lt 0\) dan wordt de grafiek na stap 2 gespiegeld rond de \(y\)-as. \(a\) en \(b\) kunnen altijd positief veronderstelt worden omdat voor de grafiek van een sinusfunctie elke spiegeling equivalent is met een verschuiving (zie oefeningen).
