Sectie 4.6 Toepassingen van de afgeleide functie
Opdracht 4.6.1.
De kostprijs om \(t\) m touw te produceren is gelijk aan \(K(t)\) euro.
Wat betekent \(K(1250)=500\text{?}\)
Wat betekent \(\dfrac{dK}{dt}(1250)=0,35\text{?}\)
Schat op basis van bovenstaande gegevens \(K(1300)\text{.}\)
Denk je dat \(\dfrac{dK}{dt}(1500)\) groter dan, kleiner dan of gelijk zal zijn aan \(\dfrac{dK}{dt}(1250)\text{?}\)
Voorbeeld 4.6.1. Kettingregel en de verticale snelheid van een bal.
Veronderstel dat een bal beweegt volgens een parabool met vergelijking \(y = 8 x - x^2\) (met \(x\) en \(y\) uitgedrukt in meter) en dat de horizontale component van de snelheid constant is en gelijk aan 2 m/s. We willen nu de verticale component van de snelheid berekenen als \(x=5\text{.}\) Dit kan op twee manieren:
Uit \(x=v_x t=2t\) (met \(t\) uitgedrukt in seconden) en \(y = 8 x - x^2\) volgt dat \(y = 16t - 4 t^2\text{.}\) Afleiden naar de tijd geeft dan \(v_y=\dfrac{dy}{dt}=16-8t\text{.}\) Als de positie \(x=5\) m is \(t=2,5\) s en \(v_y=-4 \) m/s.
We kunnen \(v_y\) ook berekenen via de kettingregel:
\begin{equation*}
v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx} \frac{dx}{dt}=(8-2x)v_x
\end{equation*}
Invullen van \(x=5\) m en \(v_x=2\) m/s geeft opnieuw dat \(v_y=-4\) m/s.
Voor de tweede methode hoeft het expliciet functievoorschrift \(y(t)\) niet bepaald te worden. De ogenblikkelijke verandering van \(y\) i.f.v. \(t\) is gelijk aan de puntsgewijze verandering van \(y\) i.f.v. \(x\) vermenigvuldigd met de ogenblikkelijke verandering van \(x\) i.f.v. \(t\text{.}\)
Opdracht 4.6.2.
(Vervolg van bovenstaand voorbeeld.) Bereken de positie waarop de bal zijn maximale hoogte bereikt
via de cartesische vergelijking;
door gebruik te maken van de uitdrukkingen voor \(x(t)\) en \(y(t)\text{;}\)
Extremumvraagstuk.
Bij een extremumvraagstuk moet je het extremum van een bepaalde grootheid bepalen. De oplossing verloopt steeds in 3 stappen.
Kies de onafhankelijke variabele.
Stel het functievoorschrift op van de afhankelijke variabele in functie van de onafhankelijke.
Bepaal het gevraagde extremum. Je mag hierbij je grafisch rekenmachine of Desmos/Geogebra als hulp gebruiken.
Voorbeeld 4.6.2. Minimale oppervlakte.
Een fabrikant moet cilindervormige blikken (met deksel) maken met een inhoud van één liter. Hoe hoog moeten de blikken gemaakt worden om zo weinig mogelijk blik te gebruiken? Wat is dan de verhouding tussen de diameter en de hoogte?
Als onafhankelijke veranderlijke kiezen we de straal van de cilinder (de hoogte is ook een mogelijkheid). Het volume is 1 l, dus de hoogte van een blik is \(h=\dfrac{1}{\pi r^2}\text{.}\) De oppervlakte is dan gelijk aan \(A(r)=2 \pi r^2+\dfrac{2}{r}\) en deze is minimaal als \(r=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2 \pi}}\text{.}\) De verhouding tussen diameter en hoogte is dan gelijk aan 1.
De laatste twee voorbeelden gaan over gekoppelde veranderingen. Bij het opblazen van een ballon bijvoorbeeld verandert het volume \(V\) in functie van de tijd. Dit betekent natuurlijk dat ook de straal \(r\) verandert in functie van de tijd en dat de verandering \(\dfrac{dr}{dt}\) afhangt van \(\dfrac{dV}{dt}\text{.}\)
Voorbeeld 4.6.3. Opblazen van een ballon.
Een bolvormige ballon wordt opgeblazen met een snelheid van 10 cm\(^3\) per seconde.
Hoe snel verandert de straal van de ballon op het moment dat de diameter gelijk is aan 10 cm?
Is deze verandering groter of kleiner dan de verandering op het moment dat de diameter gelijk is aan 15 cm?
We weten dat \(\dfrac{dV}{dt}=10\) cm\(^3\)/s en uit \(V=\dfrac{4}{3} \pi r^3\) volgt dat
\begin{equation*}
\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt} \Leftrightarrow \frac{dr}{dt}=\frac{\frac{dV}{dt}}{4\pi r^2}
\end{equation*}
Invullen van de gegevens geeft dan een verandering van ongeveer \(0,032\) cm/s voor de straal op het moment dat die 5 cm bedraagt. Deze verandering is groter dan de verandering als de straal 7,5 cm is wegens de factor \(r^2\) in de noemer.
Voorbeeld 4.6.4. Cirkelvormige beweging.
Een punt beweegt op een cirkel met vergelijking \(x^2+y^2=4\text{.}\) Als \(x=1\) cm is de horizontale snelheidscomponent \(v_x=0,20\) cm/s. Bereken op dat moment de verticale snelheidscomponent \(v_y\text{.}\)
We leiden de vergelijking \(x^2+y^2=4\) impliciet af:
\begin{equation*}
2xdx+2ydy=0
\end{equation*}
Deze vergelijking koppelt de verandering \(dy\) aan de verandering \(dx\) en dus ook \(v_y\) aan \(v_x\text{:}\)
\begin{equation*}
x \dfrac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0 \Leftrightarrow x v_x + y v_y = 0
\end{equation*}
Als \(x=1\) is \(y=\pm \sqrt{3}\) en \(v_y=\mp 0,12\) cm/s (beweging is tegenwijzerzin of wijzerzin).
