Definitie 1.3.1. Vierkantswortel.
\(b\) is een vierkantswortel uit \(a\) \(\Leftrightarrow b^2=a\)
- \(\sqrt{a}\) noemen we de positieve vierkantswortel uit \(a\)
- \(-\sqrt{a}\) noemen we de negatieve vierkantswortel uit \(a\)
Sectie 1.3 Vierkantswortels
Definitie 1.3.2. Absolute waarde.
Er geldt dat \(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{3^2}=3\) of algemeen dat
\begin{equation*}
\sqrt{x^2}=|x|=\begin{cases}x \quad \text{ als } x \ge 0 \\ -x \quad \text{ als } x \lt 0 \end{cases}
\end{equation*}
Merk op dat \(\sqrt{x^2} \neq (\sqrt{x})^2\text{.}\) \(\sqrt{x}\) is immers niet gedefinieerd voor \(x \lt 0\text{.}\) Er geldt wel dat \(\sqrt{x^2}=(\sqrt{x})^2\) als \(x\ge 0\text{.}\)
De rekenregels voor wortels volgen uit de definitie en de rekenregels van machten. Bijvoorbeeld
\begin{align*}
\amp \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \qquad (\text{algemeen: } \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} =\sqrt{a \cdot b})\\
\text{omdat } \; \amp ( \sqrt{3} \cdot \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 3 \cdot 2 =6
\end{align*}
Bij het rekenen met vierkantswortels moet je wel oppassen dat je de rekenregels niet zomaar toepast voor negatieve grondtallen. Bijvoorbeeld
\begin{equation*}
\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-4} \neq \sqrt{16}
\end{equation*}
Het linkerlid is immers niet gedefinieerd en het rechterlid is gelijk aan \(4\text{.}\)
Rekenregels voor vierkantswortels.
\(\forall m,n \in \mathbb{N}_0, \forall a,b \in \mathbb{R}^+_0:\)
\begin{align*}
\amp \sqrt{a^2}=(\sqrt{a})^2=a \qquad (\text{ definitie })\\
\amp \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\\
\amp \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}
\end{align*}
Voorbeeld 1.3.3. Wortelvormen vereenvoudigen.
Je kan wortelvormen vereenvoudigen door de eigenschappen van wortels en machten te combineren. Enkele voorbeelden:
\begin{gather*}
\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2}=\sqrt{4} \cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\\
\sqrt{a^9} = \sqrt{a^8 \cdot a} = \sqrt{a^8} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{(a^4)^2} \cdot \sqrt{a}=a^4\sqrt{a}
\end{gather*}
Voorbeeld 1.3.4. Noemers wortelvrij maken.
- Vermenigvuldig teller en noemer met de wortel die in de noemer staat:\begin{equation*} \frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6} \end{equation*}
- Vermenigvuldig teller en noemer met de toegevoegde tweeterm van de noemer:\begin{equation*} \frac{2}{1-\sqrt{3}}=\frac{2(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}=\frac{2(1+\sqrt{3})}{1-3}=-1-\sqrt{3} \end{equation*}
Voorbeeld 1.3.5. Geneste wortels uitrekenen.
\begin{equation*}
\sqrt{(1+\sqrt{3})^2}=1+\sqrt{3}
\end{equation*}
Uitwerken van het kwadraat in het linkerlid leidt tot \(\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1+\sqrt{3}\text{.}\) Sommige uitdrukkingen met geneste wortels kunnen dus vereenvoudigd worden door de uitdrukking onder de wortel als een kwadraat te schrijven. Een tweede voorbeeld:
\begin{equation*}
\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{4+4\sqrt{5}+5}=\sqrt{(2+\sqrt{5})^2}=2+\sqrt{5}
\end{equation*}
