Naar de hoofdinhoud \(\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\g}{^{\circ}}
\newcommand{\identity}{\mathrm{id}}
\newcommand{\vv}{\overrightarrow}
\newcommand{\verteq}{\rotatebox{90}{$=$}}
\newcommand{\equalto}[2]{\underset{\scriptstyle\overset{\mkern4mu\verteq}{#2}}{#1}}
\usepackage[makeroom]{cancel}
\newcommand{\lt}{<}
\newcommand{\gt}{>}
\newcommand{\amp}{&}
\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}
\newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}}
\newcommand{\sfrac}[2]{{#1}/{#2}}
\)
Oefeningen 3.5 Oefeningen
Kwadratische functies en parabolen 1.
Los onderstaande vierkantsvergelijkingen op (oefen de nieuwe manier!). Controleer jezelf met Desmos.
\(\displaystyle x^2-8x+7=0\)
\(\displaystyle -x^2-x+6=0\)
\(\displaystyle x^2+2x+2=0\)
\(\displaystyle x^2+10x-1=0\)
\(\displaystyle 3x^2-27x+9=0\)
\(\displaystyle -2x^2-4x+16=0\)
\(\displaystyle 5x^2+10x+15=0\)
Oplossing .
\(\displaystyle \begin{cases} x_1+x_2=8 \\ x_1 x_2=7 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_1=1 \\x_2=7 \end{cases}\)
\(\displaystyle x^2+x-6=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1+x_2=-1 \\ x_1 x_2=-6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_1=-3 \\x_2=2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x_1+x_2=-2 \\ x_1 x_2=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_t=-1 \\d^2=-1 \end{cases}\)
Er zijn geen oplossingen.
\(\displaystyle \begin{cases} x_1+x_2=-10 \\ x_1 x_2=-1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_t=-5 \\d^2=26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1=-5-\sqrt{26} \\ x_2=-5+\sqrt{26} \end{cases} \)
\(\displaystyle x^2-9x+3=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1+x_2=9 \\ x_1 x_2=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_t=\dfrac{9}{2} \\d^2=\dfrac{69}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1=\dfrac{9}{2}-\dfrac{\sqrt{69}}{2} \\ x_2=\dfrac{9}{2}+\dfrac{\sqrt{69}}{2} \end{cases} \)
\(\displaystyle x^2+2x-8=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1+x_2=-2 \\ x_1 x_2=-8 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_1=-4 \\x_2=2 \end{cases}\)
\(x^2+2x+3=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x_1+x_2=-2 \\ x_1 x_2=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x_t=-1 \\d^2=-2 \end{cases}\)
Er zijn geen oplossingen.
2.
Gegeven onderstaande kwadratische functies in hun standaardvorm. Herschrijf in de topvorm \(f(x)=a(x-p)^2+q\) en de ontbonden vorm \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) indien mogelijk. Controleer jezelf door telkens de grafieken te plotten.
\(\displaystyle f(x)=x^2+6x\)
\(\displaystyle f(x)=x^2+6x-4\)
\(\displaystyle f(x)=-2x^2+4x+8\)
\(\displaystyle f(x)=3x^2-27x+9\)
\(\displaystyle f(x)=-2x^2-12x-26\)
Oplossing .
\begin{align*}
f(x)= \; \amp x^2+6x\\
= \; \amp x(x+6)\\
= \; \amp (x+3)^2-9
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)= \; \amp x^2+6x-4\\
= \; \amp (x+3)^2-13\\
= \; \amp (x+3-\sqrt{13})(x+3+\sqrt{13})
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)= \; \amp -2x^2+4x+8\\
= \; \amp -2 \left ( x^2-2x-4 \right ) \\
= \; \amp -2 \left [ (x-1)^2-5 \right ]\\
= \; \amp -2(x-1-\sqrt{5})(x-1+\sqrt{5})
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)= \; \amp 3x^2-27x+9\\
= \; \amp 3 \left ( x^2-9x+3 \right ) \\
= \; \amp 3 \left [ \left (x-\frac{9}{2} \right)^2-\frac{69}{4} \right ]\\
= \; \amp 3 \left (x-\frac{9}{2}-\frac{\sqrt{69}}{2} \right ) \left (x-\frac{9}{2}+\frac{\sqrt{69}}{2} \right )
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)= \; \amp -2x^2-12x-26\\
= \; \amp -2 \left ( x^2+6x+13 \right ) \\
= \; \amp -2 \left [ \left (x+3 \right)^2 +4\right ]
\end{align*}
3.
Geef een kwadratische vergelijking van de vorm \(ax^2+bx+c=0\)
met \(-2\) en \(5\) als oplossingen;
met \(-3\) als oplossing;
met geen oplossingen.
Oplossing .
\((x+2)(x-5)=0 \Leftrightarrow x^2-3x-10=0\) of \(\begin{cases} x_1+x_2=-3 \\ x_1x_2=-10 \end{cases}\) en dit leidt onmiddellijk tot dezelfde vergelijking.
\((x+3)^2=0 \Leftrightarrow x^2+6x+9=0 \) of \(\begin{cases} x_1+x_2=-6 \\ x_1x_2=9 \end{cases}\) en dit leidt onmiddellijk tot dezelfde vergelijking.
\(\displaystyle x^2+3=0\)
Structuur van veeltermfuncties 4.
Bepaal welk functievoorschrift correspondeert met nevenstaande grafiek. Er zijn meerdere oplossingen mogelijk.
\(\displaystyle f(x)=(x-2)(x-4)\)
\(\displaystyle f(x)=x(x+2)(x+4)\)
\(\displaystyle f(x)=2x(x-2)(x-4)\)
\(\displaystyle f(x)=3x(x-2)^2(x-4)\)
\(\displaystyle f(x)=x(x-2)^2(2x-8)\)
\(\displaystyle f(x)=x(x-2)(4x-1)\)
Oplossing .
\(f(x)=3x(x-2)^2(x-4)\) en \(f(x)=x(x-2)^2(2x-8)\)
5. Bepaal een veeltermfunctie van de derde graad waarvan de grafiek gaat door de punten \(A(-1,0)\text{,}\) \(B(1,0)\text{,}\) \(C(3,0)\) en \(D(0,12)\text{.}\)
Oplossing .
\(f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)\) en \((0,12)\) behoort tot de grafiek van \(f\text{:}\)
\begin{equation*}
12=f(0) \Leftrightarrow 12=a\cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-3) \Leftrightarrow a=4
\end{equation*}
6. Een veeltermfunctie van de derde graad heeft een enkelvoudige nulwaarde \(3\) en een tweevoudige nulwaarde \(-2\text{.}\) De grafiek gaat bovendien door het punt \(P(-3,3)\text{.}\) Stel het functievoorschrift op.
Oplossing .
\(f(x)=a(x-3)(x+2)^2\) en \((-3,3)\) behoort tot de grafiek van \(f\text{:}\)
\begin{equation*}
3 = f(-3) \Leftrightarrow 3 = a \cdot (-6) \cdot (-1)^2 \Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}
\end{equation*}
7. Bepaal een voorschrift van een vijfdegraadsfunctie die een buigpunt heeft in \((2,0)\) en enkel 2 als nulwaarde heeft.
8. Gegeven onderstaande tekentabel van een veeltermfunctie van de vijfde graad. Schets een mogelijke grafiek en geef een mogelijk functievoorschrift.
Oplossing .
\(f(x)=3(x+1)x(x-2)^2(x-5)\) (plot in Desmos om je schets te controleren)
9. Gegeven een lineaire functie \(f_1(x)\) waarvan de grafiek een dalende rechte is en een kwadratische functie \(f_2(x)\) waarvan de grafiek een dalparabool is zonder snijpunten met de \(x\) -as. Hoe ziet de grafiek van \(f(x)=f_1(x)f_2(x)\) eruit?
Oplossing . Aangezien de grafiek van \(f_1\) een dalende rechte is en de grafiek van \(f_2\) een dalparabool, zijn de functiewaarden van \(f(x)\) negatief als \(x \to +\infty\text{.}\) De tweede grafiek is dus de grafiek van \(f\text{.}\)
Veeltermvergelijkingen oplossen 10.
Los de volgende veeltermvergelijkingen op:
\(\displaystyle x^3-6x^2+12x-8=0\)
\(\displaystyle 49x^2-14x+1=0\)
\(\displaystyle x^3-3x^2-10x+24=0\)
\(\displaystyle 9x^2-25=0\)
\(\displaystyle x^3+2x^2-9x-18=0\)
\(\displaystyle 2x^4-6x^3+12x^2=0\)
\(\displaystyle x^4-x^3+4x-16=0\)
\(\displaystyle -x^4+3x^3+3x^2-11x+6=0\)
Oplossing .
\(\displaystyle x^3-6x^2+12x-8=0 \Leftrightarrow (x-2)^3=0 \Rightarrow V= \lbrace 2 \rbrace \)
\(\displaystyle 49x^2-14x+1=0 \Leftrightarrow (7x-1)^2=0 \Rightarrow V=\left \lbrace \dfrac{1}{7} \right \rbrace \)
\(\displaystyle x^3-3x^2-10x+24=0 \Leftrightarrow (x-4)(x+3)(x-2)=0 \Rightarrow V= \lbrace 4,-3,2 \rbrace \)
\(\displaystyle 9x^2-25=0 \Leftrightarrow (3x-5)(3x+5)=0 \Rightarrow V= \left \lbrace \dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3} \right \rbrace \)
\(\displaystyle x^3+2x^2-9x-18=0 \Leftrightarrow (x+3)(x+2)(x-3)=0 \Rightarrow V= \left \lbrace -3,-2,3 \right \rbrace \)
\(\displaystyle 2x^4-6x^3+12x^2=0 \Leftrightarrow 2x^2(x^2-3x+6)=0 \Rightarrow V= \lbrace 0 \rbrace \)
\(\displaystyle x^4-x^3+4x-16=0 \Leftrightarrow (x+2)(x-2)(x^2-x+4)=0 \Rightarrow V= \lbrace -2,2 \rbrace \)
\(\displaystyle -x^4+3x^3+3x^2-11x+6=0 \Leftrightarrow -(x-1)^2(x+2)(x-3)=0 \Rightarrow V= \lbrace -2,1,3 \rbrace \)
Veeltermongelijkheden oplossen 11.
Los onderstaande ongelijkheden op en controleer jezelf grafisch.
\(\displaystyle 2x-8 \lt 0\)
\(\displaystyle \dfrac{x}{-5} \ge 0\)
\(\displaystyle 2x+1 \ge -5\)
\(\displaystyle 7(x-5) \le 3(x+1)\)
\(\displaystyle \dfrac{2x}{3}+\dfrac{3}{4} \lt x-1\)
\(\displaystyle x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4} \gt 10\)
\(\displaystyle x^2 \lt 9\)
\(\displaystyle 2x \gt x^2\)
\(\displaystyle 4x^2+5 \ge 8x\)
\(\displaystyle 12x^2-4x-5 \le 0 \)
\(\displaystyle 3(x^2+1) \gt -10x\)
Oplossing .
\(\displaystyle 2(x-4) \lt 0 \Rightarrow V = \; ]-\infty,4[\)
\(\displaystyle -\dfrac{1}{5} x \ge 0 \Rightarrow V = \; ]-\infty,0]\)
\(\displaystyle 2(x+3) \ge 0 \Rightarrow V = [-3,+\infty[\)
\begin{align*}
\amp 7x-35 \le 3x+3\\
\Leftrightarrow \; \amp 4x \le 38\\
\Leftrightarrow \; \amp x \le \frac{19}{2}\\
\Rightarrow \; \amp V = \; \left ]-\infty, \frac{19}{2} \right ]
\end{align*}
\begin{align*}
\amp \dfrac{2x}{3}+\dfrac{3}{4} \lt x-1\\
\Leftrightarrow \; \amp \dfrac{7}{4} \lt \frac{x}{3}\\
\Leftrightarrow \; \amp x \gt \frac{21}{4}\\
\Rightarrow \; \amp V = \; \left ] \frac{21}{4},+\infty \right [
\end{align*}
\begin{align*}
\amp x-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4} \gt 10 \\
\Leftrightarrow \; \amp 12x-6x-4x-3x \gt 120 \\
\Leftrightarrow \; \amp -x \gt 120\\
\Rightarrow \; \amp V = \; \left ]-\infty,-120 \right [
\end{align*}
\(x^2-9=(x-3)(x+3)\text{;}\) de oplossing volgt dan uit de tekentabel: \(V= \; ]-3,3[\)
\(2x-x^2=-x(x-2)\text{;}\) de oplossing volgt dan uit de tekentabel: \(V= \; ]0,2[\)
\(4x^2-8x+5\) kan niet ontbonden worden \(\Rightarrow V=\mathbb{R}\)
\(12x^2-4x-5=12 \left (x+\dfrac{1}{2} \right ) \left (x-\dfrac{5}{6} \right )\text{;}\) de oplossing volgt dan uit de tekentabel: \(V=\left [ -\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{6} \right ]\)
\(3x^2+10x+3 = 3 \left (x+3 \right ) \left (x+\dfrac{1}{3} \right )\text{;}\) de oplossing volgt dan uit de tekentabel: \(V= \; \left ]-\infty, -3 \right [ \; \cup \; \left ]-\dfrac{1}{3}, +\infty \right [\)
12.
Los onderstaande ongelijkheden op. De corresponderende vergelijkingen heb hierboven je in oefening 11 al opgelost.
\(\displaystyle x^3-6x^2+12x-8 \gt 0\)
\(\displaystyle 49x^2-14x+1 \ge 0\)
\(\displaystyle x^3-3x^2-10x+24 \lt 0\)
\(\displaystyle 9x^2-25 \le 0\)
\(\displaystyle x^3+2x^2-9x-18 \gt 0\)
\(\displaystyle 2x^4-6x^3+12x^2 \ge 0\)
\(\displaystyle x^4-x^3+4x-16 \lt 0\)
\(\displaystyle -x^4+3x^3+3x^2-11x+6 \le 0\)
Oplossing .
\(\displaystyle x^3-6x^2+12x-8 \gt 0 \Leftrightarrow (x-2)^3 \gt 0 \Rightarrow V=]2,+\infty[ \)
\(\displaystyle 49x^2-14x+1 \ge 0 \Leftrightarrow (7x-1)^2 \ge 0 \Rightarrow V=\mathbb{R} \)
\(\displaystyle x^3-3x^2-10x+24 \lt 0 \Leftrightarrow (x-4)(x+3)(x-2) \lt 0 \Rightarrow V= \; ]-\infty,-3[ \; \cup \; ]2,4[ \)
\(\displaystyle 9x^2-25 \le 0 \Leftrightarrow (3x-5)(3x+5) \le 0 \Rightarrow V= \left [ -\dfrac{5}{3},\dfrac{5}{3} \right ] \)
\(\displaystyle x^3+2x^2-9x-18 \gt 0 \Leftrightarrow (x+3)(x+2)(x-3) \gt 0 \Rightarrow V= \; ]-3,-2 [ \; \cup \; ]3,+\infty [ \)
\(\displaystyle 2x^4-6x^3+12x^2 \ge 0 \Leftrightarrow 2x^2(x^2-3x+6) \ge 0 \Rightarrow V= \mathbb{R} \)
\(\displaystyle x^4-x^3+4x-16 \lt 0 \Leftrightarrow (x+2)(x-2)(x^2-x+4) \lt 0 \Rightarrow V= \; ] -2,2 [ \)
\(-x^4+3x^3+3x^2-11x+6=0 \Leftrightarrow -(x-1)^2(x+2)(x-3)=0 \) \(\Rightarrow V= ]-\infty,-2] \cup \lbrace 1 \rbrace \cup [3,+\infty [\)
