We beschouwen de rechte \(r\) die gaat door het punten \(P_1(x_1,y_1)\) en \(P_2(x_2,y_2)\text{.}\) De coördinaat van een willekeurig punt \(P(x,y)\) van deze rechte is dan
We noemen dit stelsel een stelsel parametervergelijkingen of een parametervoorstelling van de rechte \(r\text{.}\) Elke waarde van de parameter \(k\) correspondeert met een punt van de rechte en omgekeerd.
Parametervoorstelling van een rechte - 1.
De rechte \(r\) door de punten \(P_1(x_1,y_1)\) en \(P_2(x_2,y_2)\) heeft als parametervoorstelling
Gegeven de punten \(A(2,1)\) en \(B(5,-3)\text{.}\) Stel een parametervoorstelling op van de rechte \(AB\text{.}\)
Antwoord.
\(\begin{cases} x = 2(1-k)+5k \\ y = (1-k) -3k \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R}) \)
(b)
Gegeven een driehoek \(ABC\) met \(A(-1,3)\text{,}\)\(B(6,2)\) en zwaartepunt \(Z(3,5)\text{.}\) Stel een parametervoorstelling op van de zwaartelijn door \(C\text{.}\)
Oplossing.
Je zou eerst de coördinaten van \(C\) kunnen bepalen, maar dat hoeft niet. Het midden \(M\) van het lijnstuk \([AB]\) ligt ook op de gevraagde zwaartelijn en is gemakkelijker te bepalen:
Voorbeeld2.3.1.Een parametervoorstelling is niet uniek.
Een rechte heeft een oneindig aantal parametervoorstellingen. De punten \(P_1\) en \(P_2\) zijn immers gewoon twee willekeurige punten van de rechte. Elke keuze voor \(P_1\) en \(P_2\) leidt tot een andere parametervoorstelling voor de rechte.
Als voorbeeld stellen we een andere parametervoorstelling op voor de rechte door de punten \(A(2,1)\) en \(B(5,-3)\) uit bovenstaande opdracht. De gevonden parametervoorstelling was \(\begin{cases} x = 2(1-k)+5k \\ y = (1-k) -3k \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R}) \text{.}\) We werken dit uit zodat we gemakkelijker punten van de rechte kunnen bepalen:
en gebruiken vervolgens de punten \(C\) en \(D\) om een andere parametervoorstelling op te stellen:
\begin{equation*}
\begin{cases} x = -(1-k) + 8k \\ y = 5(1-k) -7 k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -1+9k \\ y = 5 - 12 k \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Opdracht2.3.2.
Stel nog een andere parametervoorstelling op voor de rechte uit bovenstaand voorbeeld. Controleer jezelf grafisch.
Voorbeeld2.3.2.Bepalen of een punt op de rechte ligt.
Met behulp van een parametervoorstelling kan je snel bepalen of een gegeven punt op de rechte ligt. Om na te gaan of het punt \((4,-1)\) op de rechte door de punten \((2,1)\) en \((5,-3)\) ligt, vul je gewoon het punt in de parametervoorstelling in en los je beide vergelijkingen op naar \(k\) 1
We gaan er steeds van uit dat \(k \in \mathbb{R}\) en schrijven dit er niet steeds expliciet bij.
Een parametervoorstelling kan beschouwd worden als een functie van \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2\text{.}\) Beschouw bijvoorbeeld de parametervoorstelling
We noemen deze coördinaat een stel richtingsgetallen van de rechte met vectoriële vergelijking \(\vv{P}=\vv{P_1}+k\vv{R}
\text{.}\) Deze rechte heeft oneindig veel richtingsgetallen aangezien elke vector die een veelvoud is van \(\vv{R}\) eveneens een richtingsvector is van de rechte.
Evenwijdige rechten.
De rechte \(r\) met richtingsvector \(\vv{R}(a_1,b_1)\) en de rechte \(s\) met richtingsvector \(\vv{S}(a_2,b_2)\) zijn evenwijdig als en slechts als hun stellen richtingsgetallen evenredig zijn:
\begin{equation*}
r \parallel s \Leftrightarrow \vv{S}=k\vv{R} \Leftrightarrow a_2=k a_1 \wedge b_2 = k b_1 (k \in \mathbb{R}_0)
\end{equation*}
We beschouwen de rechte \(r\) die gaat door het punt \(P_1(x_1,y_1)\) en evenwijdig is met de vector \(\vv{R}(a,b)\text{.}\) De coördinaat van een willekeurig punt \(P(x,y)\) van deze rechte is dan
\begin{align*}
\amp co(\vv{P})=co(\vv{P_1})+k \cdot co(\vv{R}) \\
\Leftrightarrow \amp (x,y)=(x_1,y_1)+k(a,b)\\
\Leftrightarrow \amp \boxed{\begin{cases} x = x_1+k \cdot a \\ y=y_1+k \cdot b \end{cases}} \qquad (k \in \mathbb{R})
\end{align*}
Voorbeeld2.3.4.Parametervoorstelling van een rechte bepalen m.b.v. een richtingsvector.
We bepalen opnieuw een parametervoorstelling van de rechte door de punten \(A(2,1)\) en \(B(5,-3)\text{.}\) We kregen eerder al het resultaat
\begin{equation*}
\begin{cases} x = 2(1-k)+5k \\ y = (1-k) -3k \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 2+3k \\ y = 1-4k \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Hetzelfde resultaat krijgen we door eerst een richtingsvector van de rechte te bepalen en bovenstaande vorm voor de parametervoorstelling toe te passen. De vector \(\vv{AB}\) is een richtingsvector met
\begin{equation*}
\begin{cases} x = 2+3k \\ y = 1-4k \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})
\end{equation*}
of
\begin{equation*}
\begin{cases} x = 5+3k \\ y = -3-4k \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})
\end{equation*}
waarbij we eerst \(A\) en vervolgens \(B\) als ‘ankerpunt’ gebruikt hebben.
Aangezien elk veelvoud van de richtingsvector \(\vv{R}(3,-4)\) eveneens een richtingsvector van de rechte \(AB\) is, kan je snel andere parametervoorstellingen opschrijven. Bijvoorbeeld
\begin{equation*}
\begin{cases} x = 5+\frac{3}{2}k \\ y = -3-2k \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})
\end{equation*}
of
\begin{equation*}
\begin{cases} x = 5-6k \\ y = -3+8k \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Parametervoorstelling van een rechte - 2.
De rechte \(r\) door het punt \(P_1(x_1,y_1)\) en evenwijdig met de vector \(\vv{R}(a,b)\) heeft als parametervoorstelling
\begin{equation*}
r \leftrightarrow \begin{cases} x = x_1+k \cdot a \\ y=y_1+k \cdot b \end{cases} \qquad (k \in \mathbb{R})
\end{equation*}
\((a,b)\) noemen we een stel richtingsgetallen van de rechte.
Subsectie2.3.3Verband tussen parametervoorstelling en cartesische vergelijking
Voorbeeld2.3.5.Van parametervoorstelling naar cartesische vergelijking.
Een parametervoorstelling van de rechte door het punt \(P_1(2,1)\) en met richtingsgetallen \((4,8)\) is gelijk aan
Merk op dat de richtingscoëfficiënt gelijk is aan de verhouding van de richtingsgetallen: \(\dfrac{8}{4}=2\text{.}\)
De rechte door het punt \(P_1(x_1,y_1)\) evenwijdig met de vector \(\vv{R}(a,b)\) heeft als parametervoorstelling:
\begin{equation*}
\begin{cases} x = x_1+k \cdot a \\ y=y_1+k \cdot b \end{cases} \quad (k \in \mathbb{R})
\end{equation*}
Met elke waarde van \(k\) correspondeert een punt van de rechte en omgekeerd. Een willekeurig punt \(P(x,y)\) van het vlak behoort dus tot de rechte als
Uit de laatste vergelijking volgt dat de richtingscoëfficiënt van de rechte gelijk is aan \(\dfrac{b}{a}\text{.}\) Dit volgt natuurlijk ook onmiddellijk uit de meetkundige betekenis van de richtingsvector en de richtingscoëfficiënt. Als \(a\) of \(b\) gelijk zijn aan nul, dan krijgen we een rechte evenwijdig met de \(y\)-as (\(x=x_1\)) of evenwijdig met de \(x\)-as (\(y=y_1\)).
Op basis van de cartesische vergelijking kan je snel twee eenvoudige parametervoorstellingen afleiden door \(x\) of \(y\) gelijk te stellen aan \(k\text{.}\) Voor de rechte met cartesische vergelijking \(y=2x-3\) leidt dit tot de volgende twee parametervoorstellingen:
\begin{equation*}
\begin{cases} x = k \\ y=-3+2k \end{cases} \qquad \begin{cases} x = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2}k \\ y=k \end{cases}
\end{equation*}
In het eerste geval is \(P_1(0,-3)\) het snijpunt van de rechte met de \(y\)-as en in het tweede geval is \(P_1(3/2,0)\) het snijpunt van de rechte met de \(x\)-as.
Opdracht2.3.3.
Een parametervoorstelling van een rechte door de punten \(P_1(x_1,y_1)\) en \(P_2(x_2,y_2)\) wordt gegeven door
Gegeven de rechte \(AB\) met \(A(2,1)\) en \(B(5,-3)\) en de rechte \(CD\) met \(C(-4,-1)\) en \(D(0,7)\text{.}\) Je kan het gemeenschappelijk punt \(S\) bepalen door beide parametervoorstellingen te gebruiken:
\begin{align*}
\amp \textrm{rechte } AB \leftrightarrow \begin{cases} x = 2+3k_1 \\ y = 1-4k_1 \end{cases} \amp \textrm{rechte } CD \leftrightarrow \begin{cases} x = -4 + 4k_2 \\ y = -1+8k_2 \end{cases}
\end{align*}
Als we \(k_1=-1\) invullen in de parametervoorstelling van de rechte \(AB\) of \(k_2=\dfrac{3}{4}\) in de parametervoorstelling van de rechte \(CD\text{,}\) krijgen we het snijpunt \(S(-1,5)\text{.}\)
Je kan het snijpunt ook bepalen door de parametervoorstelling van één van de rechten in te vullen in de cartesische vergelijking van de andere rechte. We stellen bijvoorbeeld dus eerst de cartesische vergelijking van de rechte \(CD\) op:
