De scalaire vermenigvuldiging

Naar de hoofdinhoud

$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\g}{^{\circ}} \newcommand{\identity}{\mathrm{id}} \newcommand{\vv}{\overrightarrow} \newcommand{\verteq}{\rotatebox{90}{$=$}} \newcommand{\equalto}[2]{\underset{\scriptstyle\overset{\mkern4mu\verteq}{#2}}{#1}} \usepackage[makeroom]{cancel} \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9} \newcommand{\fillinmath}[1]{\mathchoice{\colorbox{fillinmathshade}{$\displaystyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\textstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptstyle \phantom{\,#1\,}$}}{\colorbox{fillinmathshade}{$\scriptscriptstyle\phantom{\,#1\,}$}}} $

Sectie 1.5 De scalaire vermenigvuldiging

Het product van een vector en een reëel getal noemen we de scalaire vermenigvuldiging.

Definitie 1.5.1. Scalaire vermenigvuldiging.

De vector $k \cdot \vv{v}=k \vv{v}$ is de vector met

richting gelijk aan de richting van $\vv{v}\text{;}$
zin gelijk aan de zin van $\vv{v}$ als $k \gt 0$ en tegengesteld aan de zin van $\vv{v}$ als $k \lt 0\text{;}$
norm gelijk aan de norm van $\vv{v}$ vermenigvuldigt met $|k|\text{:}$

\begin{equation*} ||k \cdot \vv{v}||=|k| \cdot ||\vv{v}|| \end{equation*}

Eigenschappen van de scalaire vermenigvuldiging.

Voor alle $r, s \in \mathbb{R}$ en voor alle $\vv{u},\vv{v} \in \mathcal{V}$ geldt

$\displaystyle r \vv{u} \in \mathcal{V}$
$r(s \vv{u})=(r \cdot s)\vv{u}$ (scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief)
$r(\vv{u}+\vv{v})=r\vv{u}+r\vv{v}$ (scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v optelling in $\mathcal{V}$)
$(r+s)\vv{u}=r\vv{u}+s\vv{u}$ (scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v optelling in $\mathbb{R}$)
$1\vv{u}=\vv{u}\cdot 1=\vv{u}$ ($1$ is neutraal element voor scalaire vermenigvuldiging)

Merk op dat

\begin{gather*} \forall \vv{v} \in \mathcal{V}: 0 \cdot \vv{v}=\vv{v} \cdot 0 = \vv{o}\\ \forall k \in \mathbb{R}: k \cdot \vv{o}=\vv{o} \cdot k = \vv{o} \end{gather*}

Opdracht 1.5.1.

Controleer grafisch de distributiviteit van de scalaire vermenigvuldiging t.o.v de optelling in $\mathcal{V}\text{.}$ Kies twee vectoren met verschillende richtingen.

Vorig Top Volgend