Beschouw drie puntvectoren \(\vv{A}\text{,}\)\(\vv{B}\) en \(\vv{C}\text{.}\) Stel een vectoriële vergelijking op van
de rechte \(OA\)
de rechte \(AC\)
de rechte door \(B\text{,}\) evenwijdig met de rechte \(AC\)
de rechte door het midden van \([AB]\text{,}\) evenwijdig met de rechte \(BC\)
2.
Teken de rechten die beschreven worden door onderstaande vectoriële vergelijkingen. (Tenzij anders vermeld veronderstellen we vanaf nu dat \(k \in \mathbb{R}\)).
Welke vergelijkingen uit de vorige oefening stellen dezelfde rechte voor? Herschrijf de vergelijkingen zodat je dit ook onmiddelijk ziet door naar de structuur van deze vergelijkingen te kijken.
3.
Gegeven de oorsprong \(O\) en drie punten \(A\text{,}\)\(B\) en \(C\text{:}\)
Teken telkens de verzameling van punten die voldoen aan de volgende vectoriële vergelijkingen:
\(\vv{P}=\vv{A}+k\vv{B}\) met \(k \ge 0\)
\(\vv{P}=\vv{B}-\vv{C}+k (\vv{A}-\vv{B})\) met \(k \ge 0\)
\(\vv{P}=(1-k)\vv{B}+k\vv{A}\) met \(-1 \lt k \lt 2\)
\(\vv{P}=(1-k)\vv{A}+k\vv{C}\) met \(1/2 \lt k \lt 1\)
4.
Gegeven 3 punten \(P_1, P_2\) en \(P\) waarvoor geldt \(\vv{P_1}=3\vv{A}-\vv{B}\text{,}\)\(\vv{P_2}=2\vv{A}+5\vv{B}\text{,}\)\(\vv{P}=\frac{9}{4}\vv{A}+\frac{7}{2}\vv{B}\text{.}\) Toon aan dat \(P\) op de rechte \(P_1P_2\) ligt
5.
Gegeven twee niet evenwijdige vectoren \(\vv{P_1}\) en \(\vv{P_2}\) en de vector \(\vv{S}=2\vv{P_1}+2\vv{P_2}\text{.}\)
Teken de rechten \(e\) en \(f\text{:}\)\(e \leftrightarrow
\vv{P} = \vv{P_1} + k \vv{P_2}\) en \(f \leftrightarrow \vv{P}=\vv{S}+k\vv{P_1}\)
Noem \(T\) het snijpunt van de rechten \(e\) en \(f\text{.}\) Schrijf \(\vv{T}\) in de vorm \(\vv{T}=a\vv{P_1}+b\vv{P_2}\text{.}\)
Bewijs je antwoord op de vorige vraag (als je dat nog niet gedaan hebt).
6.
Gegeven het parallellogram \(ABCD\) en een punt \(E\) op de zijde \([AD]\) waarvoor geldt dat \(\vv{AE}=\frac{1}{3} \vv{AD}\text{.}\) Het punt \(F\) is het snijpunt van de rechten \(AC\) en \(BE\text{.}\) Bewijs dat \(\vv{AF}=\frac{1}{4}\vv{AC}\text{.}\) (Tip: kies een goede oorsprong.)
7.
Bewijs dat het zwaartepunt \(Z\) van een driehoek \(ABC\) gegeven wordt door:
\(\displaystyle \displaystyle \begin{cases} x = -2+5k\\ y= -1 \end{cases} \)
\(\displaystyle \displaystyle \begin{cases} x = -2-10k\\ y=-3-4k \end{cases} \)
Antwoord.
\(\displaystyle y=-\dfrac{x}{4}\)
\(\displaystyle y=-\dfrac{5}{2}(x-2)+3\)
\(\displaystyle y=-1\)
\(\displaystyle y=\dfrac{2}{5}(x+2)-3\)
10.
Bepaal het snijpunt van onderstaande rechten.
\(\displaystyle \displaystyle \begin{cases} x = -k \\ y = 2 \end{cases} \quad \textrm{en} \quad \begin{cases} x = k \\ y= 8 + k \end{cases} \)
\(\displaystyle \displaystyle \begin{cases} x = \dfrac{1}{2} + 3 k \\ y = 1 - k \end{cases} \quad \textrm{en} \quad \begin{cases} x = 1 - 9 k \\ y = 3 + 3 k \end{cases} \)
\(\displaystyle \displaystyle \begin{cases} x = -1-k\\ y = 3+2k \end{cases} \quad \textrm{en} \quad \begin{cases} x = -4 + 2k \\ y = 2 + 3 k \end{cases} \)
Antwoord.
\(\displaystyle (-6,2)\)
geen
\(\displaystyle (-2,5)\)
11.
Schrijf een parametervoorstelling op van de rechte door het punt \((2,1)\) en evenwijdig met de vector \(\vv{R}(3,6)\text{.}\)
Ligt het punt \((-5,-11)\) op deze rechte? Indien ja, bepaal dan de waarde van de parameter die met dit punt correspondeert.
Bepaal de waarde van de parameter die correspondeert met het snijpunt van de rechte en de \(x\)-as.
Bepaal de waarde van de parameter die correspondeert met het snijpunt van de rechte en de \(y\)-as.
Bepaal de cartesische vergelijking van deze rechte.
Bepaal nog 2 andere parametervoorstellingen van deze rechte.
Beschouw de rechte met parametervoorstelling \(\begin{cases} x = 5 + k\\ y=2k \end{cases} \quad (k\ \in \mathbb{R})\text{.}\) Is deze rechte evenwijdig met de gegeven rechte? Verklaar je antwoord.
Bepaal een parametervoorstelling van de rechte door het punt \((-3,2)\) en evenwijdig met de gegeven rechte. Bepaal eveneens de cartesische vergelijking.
Bepaal het snijpunt van de gegeven rechte en de rechte met parametervoorstelling \(\begin{cases} x=-12+5k \\ y=k \end{cases} (k \in \mathbb{R})\text{.}\)
