Gegeven onderstaande parabolen. Bepaal telkens het brandpunt en de vergelijking van de richtlijn. Maak ook telkens een schets van de grafiek. Controleer jezelf met Geogebra. Met de commando’s Brandpunten en Richtlijn kan je op basis van de cartesische vergelijking onmiddellijk het brandpunt en de richtlijn bepalen.
\(\displaystyle y^2 = 2,5 x\)
\(\displaystyle y^2+6x=0\)
\(\displaystyle x^2-y=0\)
\(\displaystyle 2x^2+5y=0\)
2.
Beschouw onderstaande parabolen met top \(O\) en symmetrie-as \(x\text{.}\) Bepaal telkens de topvergelijking. Je kan jezelf controleren met het commando Parabool(F,r).
het brandpunt is \(F(-2,0)\)
de parabool gaat door het punt \((3,2)\)
de vergelijking van de richtlijn is \(2x+1=0\)
3.
Beschouw onderstaande parabolen met top \(O\) en symmetrie-as \(y\text{.}\) Bepaal telkens de topvergelijking. Je kan jezelf controleren met het commando Parabool(F,r).
het brandpunt is \(F(0,2)\)
de parabool gaat door het punt \((6,-8)\)
de vergelijking van de richtlijn is \(2y-3=0\)
4.
Bepaal telkens de snijpunten van de gegeven parabool en rechte. Controleer jezelf opnieuw met Geogebra of Desmos.
Als de rechte \(y=ax+b\) de parabool \(y^2=2px\) raakt, dan is \(b=\dfrac{p}{2a}\text{.}\) Bewijs dit door uit te drukken dat de rechte de parabool in twee samenvallende punten snijdt.
6.
Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen uit het punt \(P\) aan de gegeven parabool.
uit \(P(0,3)\) aan de parabool \(y^2=3x\)
uit \(P(-2,1)\) aan de parabool \(y^2=4x\)
Cartesische vergelijking van een ellips
Met het Geogebra commando Brandpunten kan je de brandpunten van een ellips bepalen op basis van de cartesische vergelijking en met behulp van het commando Ellips kan je bijvoorbeeld de cartesische vergelijking bepalen op basis van de brandpunten en de lengte van de halve grote as.
7.
Bepaal de punten met x-coördinaat gelijk aan 3 van de ellips \(\dfrac{x^{2}}{25}+\dfrac{y^{2}}{16}=1\text{.}\)
8.
Bepaal de vergelijking van de ellips door \((2,1)\) en met lengte van de as (volgens \(x\)) gelijk aan 4.
9.
Bepaal de vergelijking van de ellips met brandpunt \(F'(0,-3)\) en waarvan de kleine as een lengte 8 heeft.
10.
Bepaal de vergelijking van de ellips met excentriciteit 3/4 en met 3 als halve lengte van de kleine as (volgens \(y\)).
11.
Bepaal de vergelijking van de ellips door de punten \((2,4)\) en \((6,2)\text{.}\)
12.
Bereken de snijpunten van de ellips \(x^{2}+3y^{2}=52\) en de rechte \(x-y+2=0\text{.}\)
Cartesische vergelijking van een hyperbool
Je kan opnieuw gebruik maken van de commando’s Brandpunten en Hyperbool om jezelf te controleren.
13.
Bepaal de punten met y-coördinaat gelijk aan \(\sqrt{6}\) van de hyperbool met vergelijking \(2x^{2}-3y^{2}=6\text{.}\)
14.
Bepaal de vergelijking van de hyperbool door het punt \((-5,0)\) die een nevenas met lengte 2 heeft.
15.
Bepaal de vergelijking van de hyperbool door \((2,0)\) en met asymptoot \(3x+y=0\text{.}\)
16.
Bepaal de vergelijking van de hyperbool met \(F'(0,-5)\) als brandpunt en die gaat door het punt \((-3,15/4)\text{.}\)
17.
Bereken de snijpunten van de hyperbool \(\dfrac{x^{2}}{6}-\dfrac{y^{2}}{2}=1\) en de rechte \(x+y-4=0\text{.}\)
18.
Uit het brandpunt \(F(c,0)\) van een hyperbool trekt men de loodlijn op een asymptoot. Noem het snijpunt van de asymptoot met de loodlijn \(Q\text{.}\) Bewijs dat \(|OQ|=a\text{.}\)
