De formule van Chasles-Möbius.
Als we expliciet de begin- en eindpunten van de vectoren noteren, leidt de kop-staartmethode onmiddellijk tot de handige gelijkheid van Chasles-Möbius:
\begin{equation*}
\vv{AB}+\vv{BC}=\vv{AC}
\end{equation*}
Sectie 1.3 Vectoren optellen
De som van twee vectoren \(\vv{u}\) en \(\vv{v}\) kan je grafisch bepalen door de vector \(\vv{v}\) te verschuiven zodat het beginpunt ervan samenvalt met het eindpunt van \(\vv{u}\text{.}\) Als je vervolgens het beginpunt van \(\vv{u}\) verbindt met het eindpunt van \(\vv{v}\) dan krijg je de vector \(\vv{u}+\vv{v}\text{.}\) Dit noemt men de “kop-staart”methode. Je kan \(\vv{v}\) ook verschuiven zodat het beginpunt samenvalt met dat van \(\vv{u}\) en de parallellogrammethode gebruiken.
Om het verschil \(\vv{v} - \vv{w}\) van twee vectoren te bepalen, tel je de tegengestelde vector \(-\vv{w}\) bij \(\vv{v}\) op:
\begin{equation*}
\vv{v}-\vv{w}=\vv{v}+(-\vv{w})
\end{equation*}
Of ook:
\begin{equation*}
\vv{AB}-\vv{CD}=\vv{AB}+\vv{DC}
\end{equation*}
Definitie 1.3.2. Verschil van twee vectoren.
\(\forall \vv{u}, \vv{v}: \vv{u}-\vv{v}=\vv{u}+(-\vv{v})\)
De commutatieve groep \(\mathcal{V},+\).
De verzameling van alle vectoren zelf stellen we voor door \(\mathcal{V}\text{.}\) Voor alle \(\vv{u}\text{,}\) \(\vv{v}\) en \(\vv{w}\) \(\in \mathcal{V}\) geldt
- \(\vv{u}+\vv{v} \in \mathcal{V}\) (\(\mathcal{V}\) is gesloten voor de optelling)
- \(\vv{u}+\vv{v}=\vv{v}+\vv{u}\) (de optelling is commutatief)
- \(\exists \vv{o}: \vv{u}+\vv{o}=\vv{o}+\vv{u}=\vv{u}\) (nulvector is neutraal element voor de optelling)
- \(\exists (-\vv{u}): \vv{u}+(-\vv{u})=(-\vv{u})+\vv{u}=\vv{o}\) (tegengestelde vector is symmetrisch element voor de optelling)
- \((\vv{u}+\vv{v})+\vv{w}=\vv{u}+(\vv{v}+\vv{w})\) (optelling is associatief)
Opdracht 1.3.1.
Controleer grafisch dat het optellen van vectoren associatief is. Kies drie vectoren met verschillende richtingen om de tekening te maken.
