Opdracht 4.4.1.
Gegeven de punten \(F(3,0)\) en \(F'(-3,0)\text{.}\) Bepaal de verzameling punten \(P\) waarvoor het verschil van de afstanden tot \(F\) en \(F'\) gelijk is aan 4.
Sectie 4.4 Cartesische vergelijking van een hyperbool
Een hyperbool is de verzameling punten van het vlak, waarvoor de absolute waarde van het verschil van de afstanden tot twee gegeven punten \(F\) en \(F'\) constant is. We kiezen een orthonormaal assenstelsel met de rechte \(FF'\) als \(x\)-as en de middellloodlijn van \([FF']\) als \(y\)-as. Een willekeurig punt \(D(x,y)\) van het vlak behoort dan tot de hyperbool als en slechts als \(||DF|-|DF'|| = 2a\text{.}\) Na wat rekenwerk herleidt deze uitdrukking zich tot
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1 \quad \text{met} \quad b^2=c^2-a^2
\end{equation*}
We beperken ons opnieuw tot het uitwerken van een specifiek voorbeeld.
Assenvergelijking van een hyperbool.
De assenvergelijking van een hyperbool is
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad \text{met} \quad a \gt b \gt 0
\end{equation*}
- De \(x\)- en de \(y\)-as zijn symmetrieassen.
- De oorsprong \(O(0,0)\) noemen we het middelpunt.
- \(P(a,0)\) en \(P'(-a,0)\) zijn de toppen.
- \(|PP'|=2a\) is de lengte van de hoofdas; \(|QQ'|=2b\) is de lengte van de nevenas
- \(F\left (c, 0 \right )\) en \(F'\left (-c, 0 \right )\) zijn de brandpunten met \(c=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\)
- De rechten \(y=\dfrac{b}{a}x\) en \(y=-\dfrac{b}{a}x\) zijn de asymptoten van de hyperbool.
- \begin{equation*} \boxed{e=\frac{c}{a}} \end{equation*}is de excentriciteit. Aangezien \(c \gt a\) geldt er nu dat \(e \gt 1\text{.}\)
Als we de \(y\)-as op de rechte \(FF'\) kiezen en de \(x\)-as op de middelloodlijn van \([FF']\text{,}\) dan geldt er voor de cartesische vergelijking
\begin{equation*}
\boxed{\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1 \quad \text{met} \quad a \gt b \gt 0 }
\end{equation*}
- De brandpunten zijn nu \(F\left (0,c \right )\) en \(F'\left (0,-c \right )\) met \(c=\sqrt{a^2+b^2}\text{.}\) Voor een willekeurig punt \(D\) van de hyperbool geldt nu dat \(||DF|-|DF'||=2b\text{.}\)
- \(Q(b,0)\) en \(Q'(-b,0)\) zijn de toppen.
