We beschouwen nu door \(O\) twee rechten die niet evenwijdig zijn en ijken elke rechte. Het geordend puntendrietal \((O,E_x,E_y)\) noemen we een ijk van het vlak. De geijkte rechten zijn de coördinaatsassen: de \(x\)-as en de \(y\)-as. Deze twee assen vormen een willekeurig assenstelsel met oorsprong \(O\text{:}\) een affien assenstelsel. Bij een affien assenstelsel kan de hoek tussen twee assen dus verschillend zijn van \(90^{\circ}\) en kan ook de eenheid per as verschillen. Als de assen loodrecht op elkaar staan dan spreken we over een orthogonaal assenstelsel. Als bovendien ook \(|OE_x|=|OE_y|\) dan spreken we van een orthonormaal of cartesisch assenstelsel.
Figuur2.2.1.Het punt \(P(2,3)\) in een affien en een orthonormaal of cartesisch assenstelsel: \(\vv{P}=2 \vv{E}_x+3\vv{E}_y\)
Een punt in het vlak wordt bepaald door twee coördinaatsgetallen. We noteren: \(P(x,y)\) of \(co(P)=(x,y)\text{.}\)
De \(x\)-coördinaat is de projectie van \(P\) op de \(x\)-as volgens de richting van de \(y\)-as.
De \(y\)-coördinaat is de projectie van \(P\) op de \(y\)-as volgens de richting van de \(x\)-as.
Merk op dat dit betekent dat we de norm van de basisvectoren gelijk stellen aan 1:
Aangezien elk punt \(P\) correspondeert met een puntvector \(\vv{P}\) kunnen we evengoed stellen dat \((x,y)\) de coördinaten van de vector \(\vv{P}\) zijn. Notatie: \(\vv{P}(x,y)\) of \(co(\vv{P})=(x,y)\text{.}\) We kunnen de vector \(\vv{P}\) echter ook schrijven als
\begin{equation*}
\vv{P} = x \vv{E}_x + y \vv{E}_y
\end{equation*}
We noemen dit de ontbinding van \(\vv{P}\) volgens de coördinaatsassen. \(\vv{E}_x\) en \(\vv{E}_y\) noemen we basisvectoren of eenheidsvectoren en we zeggen dat \(\vv{P}\) een lineaire combinatie is van deze basisvectoren. Merk op dat deze lineaire combinatie, en dus de coördinaat van \(\vv{P}\text{,}\) uniek is 1
Een andere keuze van basisvectoren geeft natuurlijk wel aanleiding tot andere coördinaatsgetallen.
Je kan rekenen met coördinaten door te steunen op onderstaande formules voor de som en de scalaire vermenigvuldiging.
Rekenen met coördinaten.
Voor de punten \(P(x_1,y_1)\) en \(Q(x_2,y_2)\) en een reëel getal \(k \in \mathbb{R}_0\) geldt er:
Gegeven de punten \(A(2,2)\) en \(B(10,6)\text{.}\) Bepaal de coördinaten van het midden \(M\) van het lijnstuk \([AB]\text{.}\)
Antwoord.
\(M(6,4)\)
(b)
Gegeven de driehoek \(ABC\) met \(A(-2,2)\text{,}\)\(B(2,-2)\) en \(C(5,3)\text{.}\) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van deze driehoek.
Antwoord.
\(Z\left (\dfrac{5}{3},1 \right)\)
(c)
Gegeven een rechthoek \(ABCD\) met \(A(2,2)\) en \(B(6,10)\text{.}\) Het snijpunt \(S\) van de diagonalen is \(S(6,5)\text{.}\) Bepaal de coördinaten van de hoekpunten \(C\) en \(D\text{.}\)
