De vectoriële vergelijking van een rechte

Sectie 2.1 De vectoriële vergelijking van een rechte

Subsectie 2.1.1 Collineaire punten

We beschouwen de rechte door de punten \(P_1\) en \(P_2\) en een punt \(P\) op deze rechte. De uitspraak “het punt \(P\) ligt op de rechte \(P_1P_2\)” is equivalent met de vectoriële vergelijking

\begin{equation*} \boxed{\vv{P_1P}=k\vv{P_2P} \quad \quad (k \neq 1)} \end{equation*}

Merk op dat \(k\) negatief is als \(P\) tussen \(P_1\) en \(P_2\) ligt. In de tekening hiernaast is \(k \gt 0 \) voor het punt \(P_4\) en \(k \lt 0\) voor het punt \(P_3\text{.}\)

Uit bovenstaande vectorvergelijking kunnen we een uitdrukking afleiden voor de puntvector \(\vv{P}\)

\begin{align*} \amp \vv{P_1P}=k\vv{P_2P} \\ \Leftrightarrow \amp \; \vv{P} - \vv{P}_1 = k (\vv{P} - \vv{P_2})\\ \Leftrightarrow \amp \; (1-k) \vv{P} = \vv{P}_1-k\vv{P}_2\\ \Leftrightarrow \amp \; \boxed{\vv{P} = \frac{\vv{P}_1-k\vv{P}_2}{1-k} \quad \quad (k \neq 1)} \end{align*}

Met behulp van bovenstaande formule kan je controleren of een punt \(\vv{P}\) op de rechte \(P_1P_2\) ligt. Vooraleer we dit illustreren, herwerken we de formule naar een eenvoudigere vorm via de substitutie \(\dfrac{1}{1-k} =1-k' \Leftrightarrow k = \dfrac{-k'}{1-k'}\text{.}\)

\begin{align*} \amp \vv{P} = \frac{\vv{P}_1-k\vv{P}_2}{1-k}\\ \Leftrightarrow \; \amp \vv{P} = (1-k') \vv{P}_1 -(1-k') \frac{-k'}{1-k'}\vv{P}_2\\ \Leftrightarrow \; \amp \vv{P} = (1-k') \vv{P}_1 + k' \vv{P}_2 \quad \quad (k' \in \mathbb{R}) \end{align*}

Vectoriële vergelijking van een rechte — 1.

De vectoriële vergelijking van de rechte door de punten \(P_1\) en \(P_2\) is

\begin{equation*} \vv{P} = (1-k) \vv{P}_1 + k \vv{P}_2 \quad \quad (k \in \mathbb{R}) \end{equation*}

Elke waarde van \(k\) correspondeert met een punt \(P\) van de rechte en omgekeerd.

\(\displaystyle k \in [0,1] \Leftrightarrow P \in [P_1P_2]\)
\(\displaystyle k \in ]-\infty,0] \Leftrightarrow P \in P_5P_1]\)
\(\displaystyle k \in [1,+\infty[ \Leftrightarrow P \in [P_2P_4\)

Voorbeeld 2.1.1. Zwaartepunt op zwaartelijn.

We tonen aan dat \(\vv{Z}=\dfrac{\vv{A}+\vv{B}+\vv{C}}{3}\) op de rechte door \(A\) en \(M_1\) ligt met \(M_1\) het midden van \([BC]\text{.}\)

\begin{align*} \amp \vv{Z}=\dfrac{\vv{A}+\vv{B}+\vv{C}}{3} \\ \Leftrightarrow \; \amp \vv{Z}=\frac{1}{3} \vv{A} + \frac{2}{3} \frac{\vv{B}+\vv{C}}{2}\\ \Leftrightarrow \; \amp \vv{Z}=\frac{1}{3} \vv{A} + \frac{2}{3} \vv{M_1} \end{align*}

Aangezien \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1\) ligt \(\vv{Z}\) inderdaad op de rechte \(AM_1\text{.}\)

Opdracht 2.1.1.

(a)

Gegeven de oorsprong \(O\) en 2 punten \(A\) en \(B\text{:}\)

Teken de volgende punten:

\begin{align*} \amp \vv{P}_1=2\vv{A}-\vv{B}\\ \amp \vv{P}_2=-\vv{A}+2\vv{B}\\ \amp \vv{P}_3=\frac{3}{2}\vv{A}-\frac{1}{2}\vv{B}\\ \amp \vv{P}_4=\frac{1}{2}\vv{A}+\frac{1}{2}\vv{B} \end{align*}

en ga na dat ze allemaal op de rechte \(AB\) liggen.

(b)

Vul aan zodat \(P_5\text{,}\) \(P_6\) en \(P_7\) op de rechte \(AB\) liggen.

\begin{align*} \amp \vv{P}_5=\boxed{\phantom{\vv{AAA}}}\vv{A}-3\vv{B}\\ \amp \vv{P}_6=-\frac{3}{2}\vv{A}+\boxed{\phantom{\vv{AAA}}}\vv{B}\\ \amp \vv{P}_7=\boxed{\phantom{\vv{AAA}}}\vv{A}+ 0,2\vv{B} \end{align*}

Voorbeeld 2.1.2. Snijpunt van twee rechten.

In dit voorbeeld bewijzen we met behulp van vectoriële vergelijkingen dat de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor snijden.

We kiezen de oorsprong in het punt \(D\) van het parallellogram \(ABCD\text{.}\) De vectoriële vergelijkingen van de diagonalen zijn dan

\begin{align*} \amp \vv{P} = k_1 \vv{B} \\ \amp \vv{P} = (1-k_2)\vv{A} + k_2\vv{C} \end{align*}

Elke waarde van \(k_1\) correspondeert met een specifiek punt van de rechte \(DB\) en elke waarde van \(k_2\) met een specifiek punt van de rechte \(AC\text{.}\) Om te bewijzen dat de diagonalen elkaar middendoor snijden volstaat het dus om aan te tonen dat \(k_1=k_2=\dfrac{1}{2}\text{.}\)

We zoeken het snijpunt van de diagonalen, d.w.z. het gemeenschappelijk punt van de rechten \(DB\) en \(AC\text{.}\) Er moet bijgevolg gelden dat

\begin{equation*} k_1 \vv{B} = (1-k_2)\vv{A} + k_2\vv{C} \end{equation*}

Voor een parallellogram \(ABCD\) geldt dat \(\vv{B}=\vv{A}+\vv{C}-\vv{D}\) (zie Oefening 1.7.16). Aangezien we de oorsprong in \(D\) gekozen hebben, vereenvoudigt dit tot \(\vv{B} = \vv{A}+\vv{C}\text{.}\) Invullen in bovenstaande vergelijking en groeperen van de termen in \(\vv{A}\) en \(\vv{C}\) leidt dan tot

\begin{equation*} (k_1+k_2-1)\vv{A} = (k_2-k_1) \vv{C} \end{equation*}

Aangezien \(\vv{A}\) en \(\vv{C}\) niet evenwijdig zijn moet er gelden dat

\begin{equation*} \begin{cases} k_1+k_2-1 = 0 \\ k_2-k_1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow k_1=k_2=\frac{1}{2} \end{equation*}

Subsectie 2.1.2 Richtingsvector van een rechte

We herschrijven de vectoriële vergelijking van de rechte \(P_1P_2\text{:}\)

\begin{align*} \vv{P} = (1-k) \vv{P}_1 + k \vv{P_2} \amp \\ \Leftrightarrow \; \vv{P} = \vv{P}_1 + k (\vv{P}_2 - \vv{P}_1) \amp \end{align*}

De vector \(\vv{P}_2 - \vv{P}_1=\vv{P_1P_2}\) bepaalt de richting van de rechte \(P_1P_2\) en noemen we een richtingsvector van de rechte.

Vectoriële vergelijking van een rechte — 2.

\begin{equation*} \vv{P}=\vv{P_1}+k \vv{R} \quad \text{met} \quad k \in \mathbb{R} \end{equation*}

is de vectoriële vergelijking van de rechte door \(\vv{P}_1\) evenwijdig met \(\vv{R}\text{.}\) De vector \(\vv{R}\) noemen we een richtingsvector van de rechte.

De vectoren \(\vv{P}_2-\vv{P}_1\) en \(\vv{P}_1-\vv{P}_2\) zijn richtingsvectoren van de rechte door de punten \(\vv{P_1}\) en \(\vv{P}_2\text{.}\)
Een rechte heeft oneindig veel richtingsvectoren. Elke vector \(\vv{S}=l \vv{R}\) met \(l \in \mathbb{R}_0\) is immers een richtingsvector van die rechte.

Opdracht 2.1.2.

Gegeven de oorsprong \(O\) en 2 punten \(A\) en \(R\text{:}\)

Teken de volgende punten:

\begin{align*} \amp \vv{P}_1=\vv{A}-\vv{R}\\ \amp \vv{P}_2=\vv{A}+\dfrac{1}{2}\vv{R}\\ \amp \vv{P}_3=\vv{A}+2\vv{R} \end{align*}

en ga na dat ze allemaal op de rechte door \(A\) evenwijdig met \(\vv{R}\) liggen.

Vorig Top Volgend