Meetkundige plaatsen in het vlak

Sectie 3.5 Meetkundige plaatsen in het vlak

Voorbeeld 3.5.1. Middelloodlijn van een lijnstuk.

We willen de verzameling punten van het vlak bepalen die op dezelfde afstand liggen van het punt \(A(1,1)\) en het punt \(B(5,3)\text{.}\) Dit is natuurlijk de middelloodlijn van het lijnstuk \([AB]\text{.}\) We bepalen eerst de coördinaat van het midden van het lijnstuk \([AB]\text{.}\)

\begin{equation*} \vv{M} = \frac{\vv{A} + \vv{B}}{2} \Rightarrow M(3,2) \end{equation*}

Het midden is dus \(M(3,2)\text{.}\) Een richtingsvector van de rechte \(AB\) is \(\vv{R}=\vv{B}-\vv{A}\) met coördinaten \((4,2)\text{.}\) Dit betekent dat \((2,1)\) een normaalvector is van de gezochte middelloodlijn en we kunnen onmiddellijk de vergelijking opschrijven:

\begin{equation*} 2(x-3)+y-2=0 \Leftrightarrow 2x+y-8 = 0 \end{equation*}

We kunnen ook als volgt redeneren. De verzameling punten \(P(x,y)\) die we zoeken voldoet aan

\begin{align*} \amp |AP|=|BP|\\ \Leftrightarrow \; \amp \sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}=\sqrt{(x-5)^2+(y-3)^2}\\ \Leftrightarrow \; \amp (x-1)^2+(y-1)^2 = (x-5)^2+(y-3)^2 \\ \Leftrightarrow \; \amp x^2-2x+1+y^2-2y+1 = x^2-10x+25 + y^2-6x+9 \\ \Leftrightarrow \; \amp -2x-2y+2 = -10x-6y+34 \\ \Leftrightarrow \; \amp 2x+y-8=0 \end{align*}

Opdracht 3.5.1.

Gegeven \(A(5,6)\text{,}\) \(B(-2,-1)\) en \(C(5,0)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de omgeschreven cirkel van de driehoek \(ABC\text{.}\)
Bereken de afstand van het middelpunt van deze cirkel tot de rechten \(a\) en \(b\) met \(a \leftrightarrow -3x+4y+16=0 \) en \(b \leftrightarrow 8x+15y+49=0\text{.}\)

Maak de oefening eerst in Desmos of Geogebra vooraleer je begint te rekenen.