Opdracht 4.3.1.
Gegeven de punten \(F(2,0)\) en \(F'(-2,0)\text{.}\) Bepaal de verzameling punten \(P\) waarvoor de som van de afstanden tot \(F\) en \(F'\) gelijk is aan 6.
Sectie 4.3 Cartesische vergelijking van een ellips
Een ellips is de verzameling punten van het vlak waarvoor de som van de afstanden tot twee gegeven punten \(F\) en \(F'\) constant is. We kiezen een orthonormaal assenstelsel met de rechte \(FF'\) als \(x\)-as en de middellloodlijn van \([FF']\) als \(y\)-as. Een willekeurig punt \(D(x,y)\) van het vlak behoort dan tot de ellips als en slechts als \(|DF|+|DF'|=2a\text{.}\) Na wat rekenwerk herleidt deze uitdrukking zich tot
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad \text{met} \quad b^2=a^2-c^2
\end{equation*}
Deze algemene vorm leiden we niet af, maar we voeren het rekenwerk wel uit voor een specifiek voorbeeld.
Assenvergelijking van een ellips.
De assenvergelijking van een ellips is
\begin{equation*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad \text{met} \quad a \gt b \gt 0
\end{equation*}
- De \(x\)- en de \(y\)-as zijn symmetrieassen.
- De oorsprong \(O(0,0)\) noemen we het middelpunt.
- \(P(a,0)\text{;}\) \(P'(-a,0)\text{;}\) \(Q(0,b)\text{;}\) \(Q'(0,-b)\) zijn de toppen.
- \(|PP'|=2a\) is de lengte van de grote as; \(|QQ'|=2b\) is de lengte van de kleine as
- \(F\left (c, 0 \right )\) en \(F'\left (-c, 0 \right )\) zijn de brandpunten met \(c=\sqrt{a^2-b^2}\text{.}\)
- \begin{equation*} \boxed{e=\frac{c}{a}} \end{equation*}is de excentriciteit. Aangezien \(c \lt a\) geldt er dat \(0 \lt e \lt 1\text{.}\) Hoe groter de excentriciteit, hoe “langgerekter” de ellips. Als \(c=e=0\text{,}\) dan is de ellips een cirkel.
1
Planetenbanen zijn ellipsen met de zon in één van brandpunten. Voor de baan van de aarde geldt er dat \(e=0,01648\)
Als we de \(y\)-as op de rechte \(FF'\) kiezen en de \(x\)-as op de middelloodlijn van \([FF']\text{,}\) dan geldt er voor de cartesische vergelijking
\begin{equation*}
\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad \text{met} \quad b \gt a \gt 0 }
\end{equation*}
- De brandpunten zijn nu \(F\left (0,c \right )\) en \(F'\left (0,-c \right )\) met \(c=\sqrt{a^2-b^2}\text{.}\) Voor een willekeurig punt \(D\) van de ellips geldt nu dat \(|DF|+|DF'|=2b\text{.}\)
- \(|QQ'|=2b\) is de lengte van de grote as; \(|PP'|=2a\) is de lengte van de kleine as.
