Grootheden worden, om praktische redenen, vaak in alternatieve eenheden uitgedrukt. De manometer van een warmwaterboiler, bijvoorbeeld, geeft de druk weer in bar en niet in Pa, en thermometers worden geijkt volgens de celsiusschaal i.p.v. de kelvinschaal.
Op bouwtekeningen van schrijnwerkers of architecten worden hoeken uitgedrukt in graden en iedereen leert op school om met een geodriehoek, netjes verdeeld in 180\(^{\circ}\text{,}\) hoeken te meten en te tekenen. Nu jullie op het punt staan om aan het serieuzere wiskundewerk te beginnen, is de tijd rijp voor het invoeren van een nieuwe hoekeenheid: de radiaal. Hoeken uitdrukken in radialen is, wiskundig gezien, “natuurlijker” dan hoeken uitdrukken in graden. In het begin lijkt dat misschien niet zo, maar dat wordt gaandeweg wel duidelijk.
Als voorsmaakje vind je hieronder alvast een tekening van de goniometrische cirkel met aanduiding van de bijzondere hoeken in graden en radialen. Hier komen we later nog uitgebreid op terug.
Subsectie1.2.2Cirkelbogen en hoeken
Beschouw een cirkel met straal gelijk aan 1 (we specifiëren de lengte-eenheid niet) en omtrek bijgevolg gelijk aan \(2 \pi\text{.}\)
De lengte van de cirkelboog 1
Klik hier om de terminologie i.v.m. de cirkel op te frissen.
die staat op een middelpuntshoek van \(180^{\circ}\) is gelijk aan \(\pi\) (\(=\) de halve cirkelomtrek).
De lengte van de cirkelboog die staat op een middelpuntshoek van \(90^{\circ}\) is gelijk aan \(\dfrac{\pi}{2}\text{.}\)
De lengte van de cirkelboog die staat op een middelpuntshoek van \(30^{\circ}\) is gelijk aan \(\dfrac{\pi}{6}\text{.}\)
De lengte van de cirkelboog die staat op een middelpuntshoek van \(10^{\circ}\) is gelijk aan \(\dfrac{\pi}{18}\text{.}\)
De grootte van elke middelpuntshoek kan dus eveneens uitgedrukt worden m.b.v. de lengte van de corresponderende cirkelboog.
Grootte van een hoek in radialen.
Als we de grootte van een hoek willen uitdrukken in radialen, dan construeren we een cirkel met middelpunt gelijk aan het hoekpunt en met straal gelijk aan 1. De grootte van de hoek in radialen (afkorting: rad) is dan gelijk aan de lengte van de corresponderende cirkelboog.
Voorbeeld1.2.1.
Voor een hoek van \(20^{\circ}\) is de lengte van corresponderende cirkelboog gelijk aan \(\dfrac{\pi}{9}\) en dus geldt er dat
1 radiaal is de grootte van de middelpuntshoek die staat op een cirkelboog waarvan de lengte gelijk is aan de straal \(r\) van de cirkel.
Formules worden eenvoudiger als hoeken uitgedrukt worden in radialen. Om de lengte van een cirkelboog te berekenen, bijvoorbeeld, hoef je enkel de hoek te vermenigvuldigen met de straal.
Booglengte.
De lengte van een cirkelboog is gelijk aan de straal \(r\) van de cirkel vermenigvuldigd met de bijhorende middelpuntshoek \(\alpha\) in radialen:
\begin{equation*}
l=\alpha \cdot r
\end{equation*}
Opdracht1.2.1.
Stel een formule op voor de oppervlakte van een cirkelsegment met middelpuntshoek \(\alpha\) (in rad) en straal \(r\text{.}\)
