Naar de hoofdinhoud

Goniometrie en complexe getallen: 3de graad ASO met 5 of 7 lesuren per week

Nele Vermeulen

Sectie 1.1 Goniometrische getallen van scherpe hoeken

Subsectie 1.1.1 Hoeken

Basisbegrippen van hoeken.

  1. Een hoek wordt gevormd door twee halfrechten die we de benen van de hoek noemen. Het gemeenschappelijk punt van de benen is het hoekpunt.
  2. Een positieve hoek wordt in tegenwijzerzin doorlopen en een negatieve hoek in wijzerzin.
  3. Een hoek van \(90^{\circ}\) noemen we een rechte hoek. Een scherpe hoek is groter dan \(0^{\circ}\) en kleiner dan \(90^{\circ}\text{.}\) Een stompe hoek is groter dan \(90^{\circ}\) en kleiner dan \(180^{\circ}\text{.}\)

Subsectie 1.1.2 Rechthoekige driehoeken

Goniometrie of trigonometrie is de tak van de wiskunde die ontstaan is uit de studie van driehoeken. Rechthoekige driehoeken vormen de basis van waaruit de volledige goniometrie kan afgeleid worden. Elke driehoek kan immers verdeeld worden in twee rechthoekige driehoeken.

Goniometrische getallen van scherpe hoeken.

Definitie van de goniometrische getallen
\begin{align*} \amp \cos \theta = \frac{a}{c}\\ \amp \sin \theta = \frac{b}{c}\\ \amp \tan \theta = \frac{b}{a} \end{align*}
De stelling van Pythagoras geeft het verband tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde:
\begin{equation*} a^2+b^2=c^2 \end{equation*}
Een onmiddellijk gevolg hiervan is de grondformule van de goniometrie:
\begin{equation*} \sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1 \end{equation*}
De cosinus en sinus van enkele bijzondere scherpe hoeken:
\(\theta\) \(\cos \theta\) \(\sin \theta\)
\(30^{\circ} \) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\)
\(45^{\circ} \) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(60^{\circ} \) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
Merk op dat uit bovenstaande definitie onmiddellijk volgt dat
\begin{equation*} \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \end{equation*}
De cotangens wordt ook vaak gebruikt om breuken te vermijden:
\begin{equation*} \cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta} =\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \end{equation*}

Opdracht 1.1.1.

Leid de grondformule van de goniometrie af uit de stelling van Pythagoras.

Opdracht 1.1.2.

Leid af dat \(\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{,}\) \(\sin 30^{\circ} = \cos 60^{\circ} =\dfrac{1}{2}\) en \(\sin 60^{\circ} = \cos 30^{\circ} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{.}\) Tip: gebruik onderstaande driehoeken.

Verkenning 1.1.3.

Je weet dat
\begin{gather*} (a+b)^2 \neq a^2 + b^2\\ \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\\ \frac{1}{a+b} \neq \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \end{gather*}
en er geldt evengoed dat
\begin{equation*} \sin (\alpha+\beta) \neq \sin \alpha + \sin \beta \end{equation*}
Geef voor elk van bovenstaande uitdrukkingen een numeriek voorbeeld en maak voor het geval van \(\sin (\alpha + \beta)\) ook een tekening.
Antwoord.

Subsectie 1.1.3 De grondformule en toepassingen

Grondformule en afgeleide formules.

\begin{align*} \amp \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\\ \Rightarrow \; \amp 1+\tan^2 \theta = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} \qquad 1+\cot^2 \theta = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} \end{align*}
Bovenstaande formules komen vaak van pas bij het bewijzen van goniometrische identiteiten en om op basis van één goniometrisch getal de andere goniometrische getallen te bepalen.

Opdracht 1.1.4.

Leid bovenstaande formules af voor \(1+\tan^2 \theta\) en \(1+\cot^2 \theta\text{.}\)

Voorbeeld 1.1.1. Goniometrische getallen bepalen zonder de hoek te berekenen.

Gegeven \(\tan \theta = \dfrac{1}{2\sqrt{6}}\text{.}\) We bepalen dan de andere goniometrische getallen als volgt:
  1. \(\displaystyle \displaystyle \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = 2 \sqrt{6}\)
  2. \(\displaystyle \displaystyle 1+\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = 2\frac{\sqrt{6}}{5} \)
  3. \(\displaystyle \displaystyle \sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = \frac{1}{5}\)
VorigTopVolgend