Naar de hoofdinhoud

Goniometrie en complexe getallen: 3de graad ASO met 5 of 7 lesuren per week

Nele Vermeulen

Sectie 1.3 Formules van de goniometrie

Subsectie 1.3.1 Optellingsformules

Opdracht 1.3.1.

  1. Gebruik onderstaande tekening om een formule af te leiden voor \(\sin (\alpha + \beta)\text{.}\) Hint: bereken eerst de lengte van alle lijnstukken.
  2. De formule voor \(\cos (\alpha + \beta)\) volgt nu ook gewoon uit de tekening.
  3. Als je de tekening een beetje aanpast zoals hieronder gebeurd is, kan je ook formules voor \(\sin (\alpha - \beta)\) en \(\cos (\alpha - \beta)\) afleiden.
  4. Baseer je nu op bovenstaande formules om formules voor \(\tan (\alpha \pm \beta)\) op te stellen. Met behulp van deze formules moet je \(\tan (\alpha \pm \beta)\) kunnen berekenen als je \(\tan \alpha\) en \(\tan \beta\) kent.

Subsectie 1.3.2 Verdubbelingsformules en halveringsformules

Opdracht 1.3.2.

  1. Stel de formules voor \(\sin 2 \alpha\text{,}\) \(\cos 2 \alpha\) en \(\tan 2 \alpha\) op.
  2. Leid vervolgens uit de formule voor \(\cos 2 \alpha\) formules af voor \(\sin^2 \alpha\) en \(\cos^2 \alpha\text{.}\)

Subsectie 1.3.3 \(t\)-formules

Opdracht 1.3.3.

  1. Vertrek van de formule voor \(\tan 2 \alpha\) en herschrijf die als een formule die \(\tan \alpha\) geeft in functie van \(\tan \dfrac{\alpha}{2}\text{.}\)
  2. Stel nu \(t=\tan \dfrac{\alpha}{2}\) zodat je een formule krijgt voor \(\tan \alpha\) in termen van \(t\text{.}\) Teken de rechthoekige driehoek die met deze formule overeenstemt.
  3. Gebruik de tekening om formules voor \(\sin \alpha\) en \(\cos \alpha\) op te stellen in termen van \(t\text{.}\)

Formules van de goniometrie.

Optellingsformules
\begin{align*} \amp \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \amp \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \amp \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} \end{align*}
Verdubbelings- en halveringsformules
\begin{align*} \amp \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \amp \amp \cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\\ \amp \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \amp \amp \\ \amp \sin^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2} \amp \amp \cos^2 \alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2} \end{align*}
\(t\)-formules
\begin{align*} \amp \sin \alpha = \frac{2 t}{1+t^2} \qquad \text{met } t=\tan \frac{\alpha}{2} \\ \amp \cos \alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \amp \tan \alpha = \frac{2 t}{1-t^2} \end{align*}
VorigTopVolgend