Peter wil de hoogte van kerktoren bepalen. Op 44 meter afstand van de toren staat een verkeersbord van 3 m hoog. Als Peter op een afstand van 3 m van het bord staat, ziet hij net de bovenkant van het bord en de spits van de toren op één lijn. Zijn ooghoogte is 1,50 m. Bereken de hoogte van de toren.
Antwoord.
\(25\) m
2.
Gegeven het rechthoekig trapezium \(ABCD\text{.}\)
Bereken de goniometrische getallen van de hoeken \(\hat{B}_1\) en \(\hat{D}_1\text{.}\)
Bereken \(|BC|\) en \(|CD|\text{.}\)
Voer de berekeningen uit zonder rekenmachine!
Antwoord.
\(\sin \hat{B}_1=\dfrac{3}{5}\text{,}\)\(\cos \hat{B}_1=\dfrac{4}{5}\text{,}\)\(\tan\hat{B}_1=\dfrac{3}{4}\text{,}\)\(\cot \hat{B}_1=\dfrac{4}{3}\) en \(\sin \hat{D}_1=\dfrac{4}{5}\text{,}\)\(\cos \hat{D}_1=\dfrac{3}{5}\text{,}\)\(\tan\hat{D}_1=\dfrac{4}{3}\text{,}\)\(\cot \hat{D}_1=\dfrac{3}{4}\)
\(|BC|=\dfrac{15}{4}\) en \(|CD|=\dfrac{25}{4}\)
3.
Beschouw onderstaande driehoek
Ga na dat dit een rechthoekige driehoek is.
Bepaal de cosinus, sinus en tangens van de hoek \(\beta\text{.}\) Laat wortels staan.
Bepaal de cosinus, sinus en tangens van de hoek \(\gamma\text{.}\) Laat wortels staan.
Een gelijkbenige driehoek heeft zijden die 16 cm, 17 cm en 17 cm lang zijn.
Bereken de oppervlakte van de driehoek.
Bereken de hoeken van de driehoek tot op \(0,1^{\circ}\) nauwkeurig.
Antwoord.
\(\displaystyle 120 \text{ cm}^2\)
\(61,9^{\circ}\) en \(56,1^{\circ}\)
5.
De hoogte van een gelijkzijdige driehoek is gelijk aan 10 cm. Bereken de oppervlakte.
Antwoord.
De oppervlakte is gelijk aan \(\dfrac{(10 \text{ cm})^2}{\sqrt{3}} \approx 58 \text{ cm}^2\text{.}\)
6.
Een lichtstraal valt in op het water van een kom onder een hoek van \(53^{\circ}\text{.}\) De waterlaag is 8 cm dik en de brekingsindex 1
Bij een overgang van optisch ijl naar optisch dicht, breekt een lichtstraal naar de normaal toe; bij een overgang van optisch dicht naar optisch ijl, breekt een lichtstraal van de normaal weg. Het verband tussen de invalshoek en de brekingshoek wordt gegeven door de wet van Snellius: voor de overgang van een stof a naar een stof b geldt er dat \(n_{ a \to b}=\frac{\sin i_a}{\sin r_b}\) met \(i_a\) de invalshoek, \(r_b\) de brekingshoek en \(n_{a \to b}\) de brekingsindex voor de overgang van stof a naar stof b.
van water t.o.v. lucht is \(\dfrac{4}{3}\text{.}\) De straal wordt op de bodem van de kom teruggekaatst. Op welke afstand van het invalspunt treedt de straal uit het water?
Antwoord.
\(12\) cm
7.
Bepaal de hoek die de rechte \(y=5x-8\) met de positieve \(x\)-as maakt. Geef het resultaat tot op \(0,1^{\circ}\) nauwkeurig.
Antwoord.
\(78,7^{\circ}\)
8.
Een rechte gaat door het punt \((\sqrt{3},5)\) en maakt een hoek van \(30^{\circ}\) met de positieve \(x\)-as. Stel de cartesische vergelijking op.
Antwoord.
\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}x+4\)
9.
Een scharnierend luik maakt een hoek van \(30^{\circ}\) met de grond. De bovenkant van het luik bevindt zich dan op een afstand \(d\) van de grond. Het luik wordt verder opengetrokken tot het 40 cm verder open staat. In deze positie maakt het luik een hoek van \(64^{\circ}\) met de grond. Bereken de lengte van het luik in cm nauwkeurig.
Antwoord.
\(100\) cm
10.
Voor de komst van vliegtuigen en satellieten was goniometrie erg belangrijk voor het maken van kaarten. Driehoeksmeting of triangulatie steunt op het feit dat een driehoek volledig bepaald is als één zijde en de aanliggende hoeken gekend zijn. Je start met twee punten, \(A\) en \(B\text{,}\) waarvan de onderlinge afstand makkelijk te meten is en die goed in het landschap te herkennen zijn. Dat kunnen bijvoorbeeld een molen en een kertoren zijn. Stel dat de afstand ertussen gelijk is aan 6 km. Een eindje verder staat er een tweede kerk in het punt \(C\text{.}\) De ligging van \(C\) t.o.v. \(A\) en \(B\) kan bepaald worden zonder de afstanden \(|AC|\) en \(|BC|\) te bepalen. Het volstaat om de hoeken \(\widehat{CBA}\) en \(\widehat{BAC}\) te meten.
Stel dat \(|\widehat{CBA}|=57^{\circ}\) en \(|\widehat{BAC}|=43^{\circ}\text{.}\) Teken de driehoek \(ABC\) op schaal.
Bereken de afstand \(|AC|\text{.}\)
Je kan nu \([AC]\) als basis van een tweede driehoek beschouwen en vervolgens de ligging van een vierde punt \(D\) t.o.v. \(A\) en \(C\) bepalen. Uiteindelijk wordt er een heel netwerk van driehoeken bepaald dat de basis van een kaart vormt.
\(\cos \theta\) als geldt dat \(\tan \theta = 5 \sin \theta\)
\(\cos \theta\) en \(\cot \theta\) als \(\sin \theta=\dfrac{1}{4}\)
\(\sin \theta\) en \(\cos \theta\) als \(\tan \theta=\sqrt{5}\)
\(\sin \theta\) en \(\cos \theta\) als \(3 \sin \theta=4 \cos \theta\)
Antwoord.
\(\displaystyle \cos \theta =\dfrac{1}{5}\)
\(\cos \theta=\dfrac{\sqrt{15}}{4}\) en \(\cot \theta=\sqrt{15}\text{.}\)
\(\cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\) en \(\sin \theta=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\text{.}\)
\(\cos \theta =\dfrac{3}{5}\) en \(\sin \theta =\dfrac{4}{5} \)
De radiaal: een nieuwe hoekeenheid
13.
Zet om in radialen (als rationaal veelvoud van \(\pi\) of tot 3 cijfers na de komma nauwkeurig) of graden (tot op 1 minuut nauwkeurig). Controleer jezelf met een rekenmachine.
\(\displaystyle 128^{\circ}\)
\(\displaystyle -45^{\circ}\)
\(24^{\circ}18'35''\) (zet eerst om naar decimale graden)
Welke afstand legt een schip af als het langs de evenaar vaart van 20\(^{\circ}\) westerlengte tot 30\(^{\circ}\) westerlengte? Benader de aarde als een bol met straal 6371 km.
Antwoord.
6371 km \(\cdot \dfrac{10}{180} \cdot \pi = 1112\) km
15.
Veronderstel dat een mier in tegenwijzerzin op een cirkel met een straal van 2 dm loopt van het punt \((-1,0)\) tot het punt dat correspondeert met een hoek van \(\dfrac{5\pi}{4}\) rad. Welke afstand legde de mier af?
Bereken de lengte van de twee cirkelbogen van een cirkel met straal 1 die het punt \((1,0)\) verbinden met het punt dat correspondeert met een hoek van 3 radialen.
Bereken \(\dfrac{\sin(p-q)}{\cos p \cos q}+\dfrac{\sin(q-r)}{\cos q \cos r}+\dfrac{\sin(r-p)}{\cos r \cos p}\text{.}\)
Antwoord.
Het resultaat is nul.
21.
Bereken \(\tan \alpha\text{.}\)
Antwoord.
\(\tan \alpha = \dfrac{15}{53}\)
22.
Gegeven de rechthoekige driehoek \(ABC\text{.}\) Als we de bissectrice van de hoek \(\hat{C}\) construeren, blijkt dat \(|AP|=3\text{.}\) Bereken \(|BC|\text{.}\)
Antwoord.
\(|BC| = \dfrac{100}{7}\)
23.
Als \(\tan \alpha = 3 \) en \(\cot \beta = 2\text{,}\) bereken dan \(\cos^2(\alpha+\beta)\text{.}\)
Bereken, zonder eerst \(\alpha\) te bepalen, \(\sin \dfrac{\alpha}{2}\text{,}\)\(\cos \dfrac{\alpha}{2}\) en \(\tan \dfrac{\alpha}{2}\) als gegeven is dat \(\sin \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{.}\)
Antwoord.
\(\sin \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\text{,}\)\(\cos \dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\) en \(\tan \dfrac{\alpha}{2}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)
26.
Bereken, zonder rekenmachine te gebruiken, de sinus, cosinus en tangens van \(\dfrac{\pi}{12}\text{.}\)
Antwoord.
\(\sin \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3}-1)\text{,}\)\(\cos \dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3}+1)\) en \(\tan \dfrac{\pi}{12}=2-\sqrt{3}\)
(U) Formules van de goniometrie: identiteiten bewijzen
(\(\star\)) Een alternatief bewijs voor de somformules en de t-formules
42.
Met behulp van onderstaande tekening kan je de formules voor \(\sin(\alpha+\beta)\) en \(\cos(\alpha+\beta)\) iets sneller opstellen. Hint: je moet zelf nog twee hulplijnen aan de figuur toevoegen.
43.
Gegeven dat \(\tan \alpha = \dfrac{2 t}{1-t^2}\) met \(t=\tan \dfrac{\alpha}{2}\text{.}\) Bewijs dat
Bepaal de coördinaten van alle snijpunten van de goniometrische cirkel en de rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 3.
Oplossing.
\(y=3x \Rightarrow x^2+9x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{1}{\sqrt{10}}\text{.}\) De snijpunten zijn bijgevolg \(\left ( \dfrac{\sqrt{10}}{10}, \dfrac{3\sqrt{10}}{10} \right )\) en \(\left ( -\dfrac{\sqrt{10}}{10}, -\dfrac{3\sqrt{10}}{10} \right )\text{.}\)
49.
Bereken de richtingscoëfficiënt van de rechte door de oorsprong en het punt op de goniometrische cirkel dat correspondeert met een hoek van
\(\displaystyle -\dfrac{\pi}{4}\)
\(\displaystyle \dfrac{5\pi}{6}\)
Antwoord.
\(-1\) en \(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
50.
Bepaal de coördinaten van alle snijpunten van de rechte door de oorsprong met richtingscoëfficiënt \(\tan \dfrac{\pi}{3}\) en de goniometrische cirkel.
Oplossing.
\(y=\sqrt{3}x \Rightarrow x^2+3x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{1}{2}\text{.}\) De snijpunten zijn bijgevolg \(\left ( \dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\) en \(\left (-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\text{.}\)
51.
Duid op onderstaande goniometrische cirkel de beeldpunten van de georiënteerde hoeken \(0^{\circ}\text{,}\)\(30^{\circ}\text{,}\)\(45^{\circ}\text{,}\)\(60^{\circ}\text{,}\)\(90^{\circ}\text{,}\)\(120^{\circ}\text{,}\)\(135^{\circ}\text{,}\)\(150^{\circ}\text{,}\)\(180^{\circ}\text{,}\)\(210^{\circ}\text{,}\)\(225^{\circ}\text{,}\)\(240^{\circ}\text{,}\)\(270^{\circ}\text{,}\)\(300^{\circ}\text{,}\)\(315^{\circ}\text{,}\)\(330^{\circ}\) aan. Schrijf er ook telkens de waarde van de hoek in radialen bij en de coördinaten van de beeldpunten.
Antwoord.
52.
(U) Toon aan dat als \(m\) en \(n\) gehele getallen zijn, niet allebei gelijk aan nul, dan is
Duid eerst telkens de mogelijke hoeken \(\alpha\) op de goniometrische cirkel aan en bereken deze vervolgens met je rekenmachine. Werk in radialen en tot op drie cijfers na de komma nauwkeurig.
